Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale
σ = F/A
Déformation
ε = ΔL/L
Loi de Hooke
σ = E·ε
Allongement
ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique
εT = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement
τ = T·r/J
Arbre plein
J = πd⁴/32
Arbre creux
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion
φ = TL/(GJ)
Puissance
P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

  1. Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
  2. Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
  3. Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
  4. Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectangle
I = bh³/12
Théorème de Huygens
I = Ic + A·d²
Section composée
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre
C = (σx + σy)/2
Rayon
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Contraintes principales
σ1,2 = C ± R
Direction principale
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Facette inclinée
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Méthode

  1. Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
  2. Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
  4. Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen
150 kNØ30110 GPaØ80/60600 mmδ = ?

Une tige en acier (diamètre 30 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en bronze (diamètre extérieur 80 mm, diamètre intérieur 60 mm, E = 110 GPa). Les deux mesurent 600 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 150 kN. Trouvez le raccourcissement δ.

P = 150 kNbarre: Ø30 mm, E = 200 GPatube: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Contrainte et déformation axialesDifficile
50 kN12500 mm200 mmØ40Ø50σ2​ = ?

Un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en bronze (diamètre 50 mm, longueur 200 mm, E = 110 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 50 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ2 dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: bronze, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.Torsion des arbresMoyen
d = ?T = 1500 N·mL = 1 m

Un arbre plein en laiton de 1 m de long transmet un couple de 1500 N·m. L’angle de torsion entre ses extrémités ne doit pas dépasser 3°. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte cette limite.

T = 1500 N·mL = 1 mG = 39 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Torsion des arbresDifficile
Tdo​ = 60 mm, di​ = 36 mm

Un arbre creux transmet 75 kW à 750 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τmax dans l’arbre.

P = 75 kWN = 750 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
P1​ = 50 kNP2​ = 15 kNABC6 m2 m1 m

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P1 entre les appuis et une charge ponctuelle P2 en C. Trouvez le moment fléchissant MB à l’appui B. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 9 mP1 = 50 kN à 6 mP2 = 15 kN à 9 mappuis en x = 0 et x = 8 m
MB = kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
10 kN/m40 kN15 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

40 kN @ 0 m15 kN @ 6 m25 kN @ 3 m10 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
220100t = 20ȳ = ?cotes en mm

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 220 mm de large avec deux ailes verticales de 100 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 20 mm. Trouvez la hauteur ȳ du centre de gravité au-dessus du bord inférieur.

b = 220 mmh = 100 mmt = 20 mm
ȳ = mm
8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
140280122902210xcotes en mm

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 140 × 12 mm, une âme de 290 mm de haut et 10 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 280 × 22 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique Ix par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 140 × 12 mmâme: 10 × 290 mmsemelle inférieure: 280 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen
σx​ = −70σy​ = 100τxy​ = 50MPa

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −70 MPa, σᵧ = 100 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τmax.

σx = −70 MPaσy = 100 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile
40°D = 800 mm, t = 6 mm, p = 1 MPap

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 800 mm et d’épaisseur de paroi 6 mm, contient un gaz à une pression relative de 1 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 40° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de cisaillement |τn| qui agit le long du cordon de soudure.

D = 800 mmt = 6 mmp = 1 MPaα = 40°
|τn| = MPa
11.Flèche d’une poutreMoyen
w = 8 kN/mP = 7 kNABδ2,5 m

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 7 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flèche d’une poutreDifficile
P = 15 kNABδ3,5 m1,5 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1,5 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δmax de la poutre.

P = 15 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Flambement des poteauxMoyen
PL = 2,5 m25 × 60 mmsection

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.Flambement des poteauxDifficile
P = 115 kNL = 5 md = ?section

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 115 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 115 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,2348 mm

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·2199 = 3,833 × 10⁸ N

Raccourcissement

δ = 150000·600/3,833 × 10⁸ = 0,2348 mm

Réponse

δ = 0,2348 mm
2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ2 = 17,38 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

Part du tronçon 2

F2 = 50000·1,08 × 10⁶/1,583 × 10⁶ = 34119 N

Contrainte

σ2 = 34119/1963 = 17,38 MPa (compression)

Réponse

σ2 = 17,38 MPa
3.Torsion des arbres

Réponse: d = 52,3 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire requis

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1000/(39000·0,05236) = 734561 mm⁴

Diamètre

d = (32J/π)1/4 = 52,3 mm

Réponse

d = 52,3 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

4.Torsion des arbres

Réponse: τmax = 25,87 MPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τmax = T·(do/2)/J = 954930·30/1,107 × 10⁶ = 25,87 MPa

Réponse

τmax = 25,87 MPa
5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: MB = −15 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·6 + 15·9
RB = 435/8 = 54,38 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 54,38 = 10,63 kN

Coupure en B en gardant le porte-à-faux

Seule P2 agit sur le porte-à-faux, avec un bras de levier a. Elle fait fléchir la poutre vers le haut au-dessus de l’appui (flexion négative).

MB = −P2·a = −15·1 = −15 kN·m

Réponse

MB = −15 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: B (x = 1 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 66,67 kN, R2 = 43,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = −40 kN·m, MC = −18,33, MD = −6,667, ME = −30, MF = −15, MG = 0

Réponse

Repère B: MB = −40 kN·m
7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: ȳ = 31,05 mm

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A1 = 220·20 = 4400 mm², y1 = 10 mm
deux ailes: A2 = 2·20·80 = 3200 mm², y2 = 20 + 80/2 = 60 mm

Centre de gravité

ȳ = (4400·10 + 3200·60)/7600 = 31,05 mm

Réponse

ȳ = 31,05 mm
8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: Ix = 162,2 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 1680 mm², y = 318 mm
âme: A = 2900 mm², y = 167 mm
semelle inférieure: A = 6160 mm², y = 11 mm

Centre de gravité

ȳ = (1680·318 + 2900·167 + 6160·11)/10740 = 101,1 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 140·12³/12 + 1680·216,9² = 7,902 × 10⁷ mm⁴
âme: 10·290³/12 + 2900·65,85² = 3,29 × 10⁷ mm⁴
semelle inférieure: 280·22³/12 + 6160·90,15² = 5,031 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,902 × 10⁷ + 3,29 × 10⁷ + 5,031 × 10⁷
Ix = 1,622 × 10⁸ mm⁴ = 162,2 × 10⁶ mm⁴

Réponse

Ix = 162,2 × 10⁶ mm⁴
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τmax = 98,62 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

στxyCτmax​

Rayon du cercle de Mohr

τmax = R = √(((−70 − 100)/2)² + 50²) = 98,62 MPa

Réponse

τmax = 98,62 MPa
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: |τn| = 16,41 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Cylindre à paroi mince : contrainte circonférentielle σh = pr/t et contrainte axiale σa = pr/(2t) ; ce sont les contraintes principales dans la paroi.

Contraintes dans la paroi

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1·400/6 = 66,67 MPa
σa = pr/(2t) = 33,33 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σa) et y selon la circonférence (σh). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

|τn| = (66,67 − 33,33)·sin 40°·cos 40° = 16,41 MPa

Réponse

|τn| = 16,41 MPa
11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 46,91 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 7000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δP = PL³/(3EI) = 7000·2500³/(3·1,61 × 10¹²) = 22,64 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 24,26 mm

Les additionner

δ = 22,64 + 24,26 = 46,91 mm

Réponse

δ = 46,91 mm
12.Flèche d’une poutre

Réponse: δmax = 23,73 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Flèche maximale

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 23,73 mm

Réponse

δmax = 23,73 mm
13.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 17,62 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1750² = 17624 N = 17,62 kN

Réponse

Pcr = 17,62 kN
14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 120,7 mm

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Charge critique nécessaire

Pcr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 120,7 mm

Réponse

d = 120,7 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 165,8, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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