Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 20 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en bronze (diamètre 50 mm, longueur 200 mm, E = 110 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 20 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: bronze, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 50 kW à 1500 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

40 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

15 kN @ 12 m60 kN @ 4 m12 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en I symétrique a des semelles de 230 mm de large et 22 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 460 mm et une âme de 8 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 230 mmH = 460 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une poutre en fonte a la section en T représentée, semelle en haut. Les contraintes admissibles sont de 40 MPa en traction et 120 MPa en compression. Trouvez le plus grand moment fléchissant positif M_allow que la poutre peut supporter.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −50 MPa, σᵧ = −70 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 15° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 25 mm supporte un effort de compression axial de 10 kN ainsi qu’un couple de 100 N·m. À la surface de l’arbre, trouvez la plus grande contrainte principale σ₁.

d = 25 mmF = −10 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge ponctuelle P à mi-portée. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 5 mP = 45 kN à 2,5 m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 125 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 125 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 873,1 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/70000 = 0,0008731 = 873,1 µε

Réponse

ε = 873,1 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 9,124 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 20000·1,08 × 10⁶/1,206 × 10⁶ = 17915 N

Contrainte

σ₂ = 17915/1963 = 9,124 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 9,124 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 7,891 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(26000·251327) = 0,1377 rad

φ = 0,1377·180/π = 7,891°

Réponse

φ = 7,891°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 33,33 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·20/190984 = 33,33 MPa

Réponse

τ_max = 33,33 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 6 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 56 kN, R₂ = 56 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 100, M_C = 176, M_D = 228 kN·m, M_E = 176, M_F = 100, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 228 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 4 m)

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 70,5 kN, R₂ = 100,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 117, M_C = 186 kN·m, M_D = 87, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 186 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 533,8 × 10⁶ mm⁴

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 460 − 2·22 = 416 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·460³ − 222·416³)/12

I_x = 5,338 × 10⁸ mm⁴ = 533,8 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 533,8 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: M_allow = 4,141 kN·m

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Centre de gravité

ȳ = (3600·170 + 1920·80)/5520 = 138,7 mm

bord supérieur: c = 180 − 138,7 = 41,3 mm

Moment quadratique

I = 180·20³/12 + 3600·31,3² + 12·160³/12 + 1920·58,7² = 1,436 × 10⁷ mm⁴

Moment admis par chaque bord

Moment positif : le haut est comprimé, le bas tendu.

bord supérieur: M = 120·1,436 × 10⁷/41,3 = 41,72 kN·m

bord inférieur: M = 40·1,436 × 10⁷/138,7 = 4,141 kN·m

Valeur déterminante

M_allow = min = 4,141 kN·m (bord inférieur)

Réponse

M_allow = 4,141 kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −83,66 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = −60 − 10·0,866 − 30·0,5 = −83,66 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = −36,34 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −120 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −83,66 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ₁ = 23,96 MPa

Contraintes à la surface

σ = F/A = −10000/(π·25²/4) = −10000/490,9 = −20,37 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = −10,19 MPa

R = √((−10,19)² + 32,59²) = 34,15 MPa

σ₁ = C + R = 23,96 MPa

σ₂ = C − R = −44,34 MPa

Réponse

σ₁ = 23,96 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 50,51 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 50,51 mm

Réponse

δ_max = 50,51 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 14,06 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Réponse

R_B = 14,06 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 7,91 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1400² = 7910 N = 7,91 kN

Réponse

P_cr = 7,91 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 67,01 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·125000 = 312500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 67,01 mm

Réponse

d = 67,01 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 149,2, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials