Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 20 mm, longueur 300 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en bronze (diamètre 60 mm, longueur 400 mm, E = 110 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,25 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatronçon 2: bronze, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 85 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 12 mm est soumise à un couple de 50 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 200 mm tournent de 7,22° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 50 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 7,22°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 20 kW à 1450 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 20 kWN = 1450 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

50 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 4 mP = 80 kN à 3 mw = 12 kN/m de 0 à 4 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 100 mm × 240 mm a un trou circulaire de diamètre 30 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 168 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmcentre du trou: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une poutre en fonte a la section en T représentée, semelle en haut. Les contraintes admissibles sont de 30 MPa en traction et 100 MPa en compression. Trouvez le plus grand moment fléchissant positif M_allow que la poutre peut supporter.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −40 MPa, σᵧ = −60 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 45° dans le sens horaire. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 35° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θ_A de la poutre à l’appui A, en radians.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 28 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 41,25 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1,286 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,25/6,061 × 10⁻⁶ = 41249 N = 41,25 kN

Réponse

P = 41,25 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 751,6 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 751,6 MPa

Réponse

σ_max = 751,6 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 38,98 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 7,22·π/180 = 0,126 rad

Module de cisaillement

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(2036·0,126) = 38982 MPa

G = 38,98 GPa

Réponse

G = 38,98 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 4,087 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 131714·30/966855 = 4,087 MPa

Réponse

τ_max = 4,087 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 63,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 41,67, M_C = 73,33, M_D = 95, M_E = 106,7 kN·m, M_F = 58,33, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = 106,7 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 78 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·3 + 12·4·2

R_B = 336/4 = 84 kN

ΣF_y = 0: R_A = 128 − 84 = 44 kN

Où V = 0 ?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 8 kN

V(3⁺) = 8 − 80 = −72 kN

L’effort tranchant change de signe au droit de la charge, donc le maximum est sous la charge.

Moment maximal

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 44·3 − 12·3²/2 = 78 kN·m

Réponse

M_max = 78 kN·m

Il se trouve en x = 3 m à partir de A.

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 113,5 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (24000·120 − 706,9·168)/(24000 − 706,9) = 118,5 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

100·240³/12 + 24000·1,457² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·49,46² = 1,769 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 113,5 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 113,5 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: M_allow = 2,63 kN·m

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Centre de gravité

ȳ = (2100·127,5 + 2400·60)/4500 = 91,5 mm

bord supérieur: c = 135 − 91,5 = 43,5 mm

Moment quadratique

I = 140·15³/12 + 2100·36² + 20·120³/12 + 2400·31,5² = 8,022 × 10⁶ mm⁴

Moment admis par chaque bord

Moment positif : le haut est comprimé, le bas tendu.

bord supérieur: M = 100·8,022 × 10⁶/43,5 = 18,44 kN·m

bord inférieur: M = 30·8,022 × 10⁶/91,5 = 2,63 kN·m

Valeur déterminante

M_allow = min = 2,63 kN·m (bord inférieur)

Réponse

M_allow = 2,63 kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −100 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = −50 − 10·0 − (−50)·(−1) = −100 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 0 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −100 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −100 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 161,9 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 120 + 40·0,342 + 30·0,9397 = 161,9 MPa

Réponse

σ_θ = 161,9 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: θ_A = 0,00465 rad

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Rotation en bout

θ_A = wL³/(24EI) = 6·2500³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,00465 rad

Réponse

θ_A = 0,00465 rad

Soit 0,2664°.

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 8,766 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 28000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·6000³/(48·2,4 × 10¹³) = 5,25 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 3,516 mm

Les additionner

δ_max = 5,25 + 3,516 = 8,766 mm

Réponse

δ_max = 8,766 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 13,89 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·5000 = 10000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/10000² = 13891 N = 13,89 kN

Réponse

P_cr = 13,89 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 100,7 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7,5 = 140

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Réponse

σ_cr = 100,7 MPa

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