Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une tige en acier (diamètre 25 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en aluminium (diamètre extérieur 80 mm, diamètre intérieur 60 mm, E = 70 GPa). Les deux mesurent 600 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 250 kN. Trouvez le raccourcissement δ.

P = 250 kNbarre: Ø25 mm, E = 200 GPatube: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 45 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 10 mm est soumise à un couple de 75 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 200 mm tournent de 10,94° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 75 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 10,94°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 15 kW à 1800 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 60 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mw = 5 kN/m de 0 à 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 40 kN à 2 mw = 10 kN/m de 0 à 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 30 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 0 MPa, σᵧ = 60 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 15° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 0 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Le matériau a une limite d’élasticité de 250 MPa. Trouvez le coefficient de sécurité n vis-à-vis de la plastification selon le critère de von Mises (énergie de distorsion).

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 125 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/250. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 125 mm

h_req = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 100 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 100 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,595 mm

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·2199 = 2,521 × 10⁸ N

Raccourcissement

δ = 250000·600/2,521 × 10⁸ = 0,595 mm

Réponse

δ = 0,595 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 4,379 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 46,77 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 46,77·1000/117000 = 0,3998 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·1000/100000 = 3,979 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,379 mm

Réponse

δ = 4,379 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 80,02 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 10,94·π/180 = 0,1909 rad

Module de cisaillement

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(981,7·0,1909) = 80020 MPa

G = 80,02 GPa

Réponse

G = 80,02 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 18,9 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·60)) = 18,9 mm

Réponse

d = 18,9 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 62,5 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Couper en x = 5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 25·5 − 5·5·2,5 = 62,5 kN·m

Réponse

M_x = 62,5 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 93,33 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2 + 10·6·3

R_B = 260/6 = 43,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 43,33 = 56,67 kN

Couper en x = 2 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 56,67·2 − 10·2·1 = 93,33 kN·m

Réponse

M_x = 93,33 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 69,43 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

âme: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·307,5 + 4200·150)/6600 = 207,3 mm

Théorème de Huygens

semelle: 160·15³/12 + 2400·(307,5 − 207,3)² = 2,415 × 10⁷ mm⁴

âme: 14·300³/12 + 4200·(150 − 207,3)² = 4,528 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,415 × 10⁷ + 4,528 × 10⁷ = 6,943 × 10⁷ mm⁴ = 69,43 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 69,43 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 146,5 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

âme: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·227,5 + 3520·110)/5320 = 149,8 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·15³/12 + 1800·(227,5 − 149,8)² = 1,091 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·220³/12 + 3520·(110 − 149,8)² = 1,976 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,091 × 10⁷ + 1,976 × 10⁷ = 3,067 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 149,8 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·149,8/3,067 × 10⁷ = 146,5 MPa

Réponse

σ_bas = 146,5 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = 85,98 MPa

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = 30 − (−30)·0,866 − (−60)·0,5 = 85,98 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = −25,98 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 60 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = 85,98 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: n = 1,848

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 90 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 148,3 MPa, σ₂ = 31,69 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(148,3² − 148,3·31,69 + 31,69²) = 135,3 MPa

n = 250/135,3 = 1,848

Réponse

n = 1,848

n > 1 signifie que le point ne se plastifie pas ; Tresca est un peu plus conservatif que von Mises.

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 64,59 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 64,59 mm

Réponse

δ_max = 64,59 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 218 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·18) = 1,079 × 10⁸ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·1,079 × 10⁸/125)^1/3 = 218 mm

Réponse

h_req = 218 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 67,29 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·1500 = 3000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN

Réponse

P_cr = 67,29 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 60,79 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 60,79 mm

Réponse

d = 60,79 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 138,2, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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