Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale
σ = F/A
Déformation
ε = ΔL/L
Loi de Hooke
σ = E·ε
Allongement
ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique
εT = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement
τ = T·r/J
Arbre plein
J = πd⁴/32
Arbre creux
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion
φ = TL/(GJ)
Puissance
P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

  1. Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
  2. Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
  3. Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
  4. Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectangle
I = bh³/12
Théorème de Huygens
I = Ic + A·d²
Section composée
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre
C = (σx + σy)/2
Rayon
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Contraintes principales
σ1,2 = C ± R
Direction principale
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Facette inclinée
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Méthode

  1. Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
  2. Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
  4. Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen
P = ?12600 mm400 mmØ40Ø50δ = 0,5 mm

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 600 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en cuivre (diamètre 50 mm, longueur 400 mm, E = 120 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,5 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Contrainte et déformation axialesDifficile
Ø 30 mmAcier0,5 mØ 20 mmLaiton1,5 mP = 100 kN

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 100 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1,5 m, laiton (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsion des arbresMoyen
d = 12 mmT = 50 N·m400 mmφ = 7,04°

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 12 mm est soumise à un couple de 50 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 400 mm tournent de 7,04° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 50 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 7,04°
G = GPa
4.Torsion des arbresDifficile
d = 50 mmTB​ = 1500 N·mTC​ = 100 N·mABC3 m3 m

Un arbre plein en aluminium de diamètre 50 mm est encastré en A. Un couple de 1500 N·m agit en B, à 3 m de A, et un couple de 100 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 3 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τmax dans l’arbre.

d = 50 mmTB = 1500 N·mTC = 100 N·mAB = 3 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
M0​ = 40 kN·mAB3 m7 m

La poutre sur deux appuis porte un couple M0 = 40 kN·m dans le sens horaire en x = 3 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant Mx juste à droite du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mM0 = 40 kN·m dans le sens horaire, en 3 m
Mx = kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
6 kN/m40 kN45 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

40 kN @ 0 m45 kN @ 12 m25 kN @ 4 m6 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
240301808xcotes en mm

Trouvez le moment quadratique Ix de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
3002020016xM = 20 kN·mcotes en mm

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 20 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σhaut au bord supérieur.

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 200 mmM = 20 kN·m
σhaut = MPa
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen
σx​ = 20σy​ = 80τxy​ = 20MPa

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 20 MPa, σᵧ = 80 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τmax.

σx = 20 MPaσy = 80 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile
20°D = 1200 mm, t = 10 mm, p = 2,5 MPap

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 1200 mm et d’épaisseur de paroi 10 mm, contient un gaz à une pression relative de 2,5 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 20° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la contrainte normale σn qui agit perpendiculairement au cordon de soudure.

D = 1200 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 20°
σn = MPa
11.Flèche d’une poutreMoyen
P = 4 kNABδ2,5 m1,5 m

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 2,5 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.

P = 4 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Flèche d’une poutreDifficile
w = 8 kN/mδL = 1,5 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal Ireq qui respecte cette limite.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Flambement des poteauxMoyen
PL = 3 m30 × 50 mmsection

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.Flambement des poteauxDifficile
P = 105 kNL = 2,5 md = ?section

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 105 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 105 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)
d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 122,4 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1,698 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,5/4,085 × 10⁻⁶ = 122400 N = 122,4 kN

Réponse

P = 122,4 kN
2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 5,128 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 141,5 MPa
σ2 = 318,3 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ1 = σ1L1/E1 = 141,5·500/200000 = 0,3537 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 318,3·1500/100000 = 4,775 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,128 mm

Réponse

δ = 5,128 mm
3.Torsion des arbres

Réponse: G = 79,96 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 7,04·π/180 = 0,1229 rad

Module de cisaillement

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·400/(2036·0,1229) = 79957 MPa
G = 79,96 GPa

Réponse

G = 79,96 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: τmax = 57,04 MPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Couples internes

Sens de TC pris comme positif.

TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 1500 = −1400 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|max = 1400 N·m
τmax = 16·1,4 × 10⁶/(π·50³) = 57,04 MPa

Réponse

τmax = 57,04 MPa
5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: Mx = 28 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.

Réactions d’appui

Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : RB·L − M0 = 0. Équilibre vertical : RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/10 = 4 kN (vers le haut)
RA = −RB = −4 kN (vers le bas)

Coupure juste à droite du couple

La partie gauche contient maintenant RA et le couple.

Mx = RA·a + M0 = −4·3 + 40 = 28 kN·m

Réponse

Mx = 28 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: F (x = 10 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 81,5 kN, R2 = 76,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = −80, MC = −9, MD = −12, ME = −39, MF = −90 kN·m, MG = 0

Réponse

Repère F: MF = −90 kN·m
7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: Ix = 17,66 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
âme: Aw = 8·180 = 1440 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Centre de gravité

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7200·195 + 1440·90)/8640 = 177,5 mm

Théorème de Huygens

semelle: 240·30³/12 + 7200·(195 − 177,5)² = 2,745 × 10⁶ mm⁴
âme: 8·180³/12 + 1440·(90 − 177,5)² = 1,491 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,745 × 10⁶ + 1,491 × 10⁷ = 1,766 × 10⁷ mm⁴ = 17,66 × 10⁶ mm⁴

Réponse

Ix = 17,66 × 10⁶ mm⁴
8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σhaut = 26,72 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm
âme: Aw = 16·200 = 3200 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Centre de gravité

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·210 + 3200·100)/9200 = 171,7 mm

Théorème de Huygens

semelle: 300·20³/12 + 6000·(210 − 171,7)² = 8,983 × 10⁶ mm⁴
âme: 16·200³/12 + 3200·(100 − 171,7)² = 2,714 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8,983 × 10⁶ + 2,714 × 10⁷ = 3,612 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 220 − 171,7 = 48,26 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·48,26/3,612 × 10⁷ = 26,72 MPa

Réponse

σhaut = 26,72 MPa
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τmax = 36,06 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

στxyCτmax​

Rayon du cercle de Mohr

τmax = R = √(((20 − 80)/2)² + 20²) = 36,06 MPa

Réponse

τmax = 36,06 MPa
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σn = 141,2 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Cylindre à paroi mince : contrainte circonférentielle σh = pr/t et contrainte axiale σa = pr/(2t) ; ce sont les contraintes principales dans la paroi.

Contraintes dans la paroi

r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 2,5·600/10 = 150 MPa
σa = pr/(2t) = 75 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σa) et y selon la circonférence (σh). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

σn = 75·sin²20° + 150·cos²20° = 141,2 MPa

Réponse

σn = 141,2 MPa
11.Flèche d’une poutre

Réponse: δB = 15,71 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δP = Pa³/(3EI) = 8,267 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,00496 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15,71 mm

Réponse

δB = 15,71 mm
12.Flèche d’une poutre

Réponse: Ireq = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Flèche admissible

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,808 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Réponse

Ireq = 1,808 × 10⁶ mm⁴
13.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 24,67 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·3000 = 3000 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/3000² = 24674 N = 24,67 kN

Réponse

Pcr = 24,67 kN
14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 56,17 mm

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Charge critique nécessaire

Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 56,17 mm

Réponse

d = 56,17 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 124,6, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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