Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 45 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 30 kW à 3000 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 80 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 30 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La console est encastrée en A. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à 3 m de A. Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2,5 m à partir de l’encastrement A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 3 mP = 80 kN à 3 mw = 12 kN/m de 0 à 3 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 0 m40 kN @ 6 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 240 mm de large avec deux ailes verticales de 60 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 10 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 240 mmh = 60 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 15 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −50 MPa, σᵧ = 90 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 800 mm et d’épaisseur de paroi 10 mm, contient un gaz à une pression relative de 1,2 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 20° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la contrainte normale σ_n qui agit perpendiculairement au cordon de soudure.

D = 800 mmt = 10 mmp = 1,2 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 5 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 9 kNa = 5 mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 5 mw = 15 kN/m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 9474 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/113,1 = 663,1 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 663,1/70000 = 0,009474 = 9474 µε

Réponse

ε = 9474 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,343 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,67·1000/117000 = 0,7835 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 223,8·500/200000 = 0,5595 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,343 mm

Réponse

δ = 1,343 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 22,99 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·38350) = 0,4012 rad

φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Réponse

φ = 22,99°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 18,25 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18,25 mm

Réponse

d = 18,25 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −41,5 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Garder la partie côté extrémité libre

P: −80·0,5 = −40 kN·m

w: −12·0,5²/2 = −1,5 kN·m

M_x = −40 − 1,5 = −41,5 kN·m

Réponse

M_x = −41,5 kN·m

Négatif signifie flexion négative : la face supérieure est tendue.

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: B (x = 1 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 68,75 kN, R₂ = 46,25 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −43,75, M_D = −37,5, M_E = −36,25, M_F = −40, M_G = 0

Réponse

Repère B: M_B = −55 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 0,8636 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 240·10 = 2400 mm², y₁ = 5 mm

deux ailes: A₂ = 2·10·50 = 1000 mm², y₂ = 10 + 50/2 = 35 mm

Centre de gravité

ȳ = (2400·5 + 1000·35)/3400 = 13,82 mm

Théorème de Huygens

excipient: 240·10³/12 + 2400·(5 − 13,82)² = 206851 mm⁴

deux ailes: 2·10·50³/12 + 1000·(35 − 13,82)² = 656776 mm⁴

I_x = 206851 + 656776

I_x = 863627 mm⁴ = 0,8636 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 0,8636 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 179,1 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

âme: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187,5 + 1440·90)/4140 = 153,6 mm

Théorème de Huygens

semelle: 180·15³/12 + 2700·(187,5 − 153,6)² = 3,156 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·180³/12 + 1440·(90 − 153,6)² = 9,71 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,156 × 10⁶ + 9,71 × 10⁶ = 1,287 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 153,6 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·153,6/1,287 × 10⁷ = 179,1 MPa

Réponse

σ_bas = 179,1 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = −69,7 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, −50 − 90) = −139,4°

Angle sur l’élément

θ_p = −69,7°

Réponse

θ_p = −69,7°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_n = 45,19 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,2·400/10 = 48 MPa

σ_a = pr/(2t) = 24 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

σ_n = 24·sin²20° + 48·cos²20° = 45,19 MPa

Réponse

σ_n = 45,19 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 7,353 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 9000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·5000²·1000²/(3·1,7 × 10¹²·6000) = 7,353 mm

Réponse

δ_P = 7,353 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 28,13 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28,13 kN

Réponse

R_B = 28,13 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 19,31 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1400² = 19311 N = 19,31 kN

Réponse

P_cr = 19,31 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 12,34 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Réponse

σ_cr = 12,34 MPa

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