Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 400 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en aluminium (diamètre 30 mm, longueur 500 mm, E = 70 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,2 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 60 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1,5 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 400 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 75 kW à 500 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 40 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La console est encastrée en A. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à 1 m de A. Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 0,5 m à partir de l’encastrement A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 40 kN à 1 mw = 2 kN/m de 0 à 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 10 kN à 2,5 mw = 8 kN/m de 0 à 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 100 mm × 240 mm a un trou circulaire de diamètre 30 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 156 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmcentre du trou: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 180 mm de large et 16 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 260 mm et une âme de 10 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 80 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 180 mmH = 260 mmt_f = 16 mmt_w = 10 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1,5 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 7 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 20 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 15,46 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·706,9) = 1,011 × 10⁻⁵ mm/N

Charge

P = 0,2/1,293 × 10⁻⁵ = 15463 N = 15,46 kN

Réponse

P = 15,46 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 3,021 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 62,36 MPa

σ₂ = 191 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 62,36·500/200000 = 0,1559 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 191·1500/100000 = 2,865 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,021 mm

Réponse

δ = 3,021 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 22,17 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

Réponse

φ = 22,17°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 56,71 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·40)) = 56,71 mm

Réponse

d = 56,71 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −32,25 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Garder la partie côté extrémité libre

P: −40·0,5 = −20 kN·m

w: −2·3,5²/2 = −12,25 kN·m

M_x = −20 − 12,25 = −32,25 kN·m

Réponse

M_x = −32,25 kN·m

Négatif signifie flexion négative : la face supérieure est tendue.

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 49,58 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2,5 + 8·6·3

R_B = 169/6 = 28,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 28,17 = 29,83 kN

Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 29,83·2,5 − 8·2,5·1,25 = 49,58 kN·m

Réponse

M_x = 49,58 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 114,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 95,27 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 260 − 2·16 = 228 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·260³ − 170·228³)/12

I_x = 9,573 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 130 − 16 = 114 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·114/9,573 × 10⁷ = 95,27 MPa

Réponse

σ_j = 95,27 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = 41,65 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = 10/85,59 = 0,1168, sin 2θ_s = −(−85)/85,59 = 0,9932

2θ_s = atan2(85, 10) = 83,29°

Angle sur l’élément

θ_s = 41,65°

vérification: θ_s − θ_p = 41,65 − 86,65 = −45°

Réponse

θ_s = 41,65°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 13,38 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 35 + −45·0,766 + −20·−0,6428 = 13,38 MPa

Réponse

σ_θ = 13,38 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_B = 8,882 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 7000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,974 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001974 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8,882 mm

Réponse

δ_B = 8,882 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 5,197 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·3000³/(48·4,6 × 10¹²) = 2,446 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 2,751 mm

Les additionner

δ_max = 2,446 + 2,751 = 5,197 mm

Réponse

δ_max = 5,197 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 6,229 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6,229 kN

Réponse

P_cr = 6,229 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 25,18 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/12,5 = 280

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Réponse

σ_cr = 25,18 MPa

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