Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 600 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en bronze (diamètre 60 mm, longueur 500 mm, E = 110 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 100 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatronçon 2: bronze, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 500 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 50 kW à 1500 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 80 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

15 kN @ 3 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez la distance x₀ entre A et la section où le moment fléchissant est maximal.

L = 10 mw = 16 kN/m de 1 à 10 m

x₀ = m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 10 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 30° dans le sens horaire. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −40 MPa, σᵧ = −80 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 40° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = −40 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acier)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 95 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 95 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 21827 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1528/70000 = 0,02183 = 21827 µε

Réponse

ε = 21827 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 21,14 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 100000·622035/1,041 × 10⁶ = 59759 N

Contrainte

σ₂ = 59759/2827 = 21,14 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 21,14 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 1,437 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·613592) = 0,02507 rad

φ = 0,02507·180/π = 1,437°

Réponse

φ = 1,437°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 27,26 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm

Réponse

d = 27,26 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 47,5 kN, R₂ = 27,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 65, M_D = 75 kN·m, M_E = 55, M_F = 27,5, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 75 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x₀ = 5,05 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 16·9 = 144 kN, appliquée en x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 16·9·5,5

R_B = 792/10 = 79,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 144 − 79,2 = 64,8 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 64,8/16 = 5,05 m

Réponse

x₀ = 5,05 m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 46,85 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

âme: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·305 + 2400·150)/4800 = 227,5 mm

Théorème de Huygens

semelle: 240·10³/12 + 2400·(305 − 227,5)² = 1,444 × 10⁷ mm⁴

âme: 8·300³/12 + 2400·(150 − 227,5)² = 3,241 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,444 × 10⁷ + 3,241 × 10⁷ = 4,685 × 10⁷ mm⁴ = 46,85 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 46,85 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 14,4 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

âme: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·212,5 + 1600·100)/9100 = 192,7 mm

Théorème de Huygens

semelle: 300·25³/12 + 7500·(212,5 − 192,7)² = 3,325 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·200³/12 + 1600·(100 − 192,7)² = 1,909 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,325 × 10⁶ + 1,909 × 10⁷ = 2,241 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 225 − 192,7 = 32,28 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·32,28/2,241 × 10⁷ = 14,4 MPa

Réponse

σ_haut = 14,4 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = 28,48 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = 5 − 5·0,5 − 30·(−0,866) = 28,48 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = −18,48 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = 28,48 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −115,6 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = −60 + 20·0,1736 + −60·0,9848 = −115,6 MPa

Réponse

σ_θ = −115,6 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 7,215 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 7,215 mm

Réponse

δ_max = 7,215 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 9,492 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·200000·8,333) = 9,492 × 10⁶ mm⁴

I_req = 9,492 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 9,492 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 2,481 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·5000 = 10000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2,481 kN

Réponse

P_cr = 2,481 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 68,8 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 68,8 mm

Réponse

d = 68,8 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 116,3, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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