Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une tige en acier (diamètre 30 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en aluminium (diamètre extérieur 80 mm, diamètre intérieur 50 mm, E = 70 GPa). Les deux mesurent 800 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 80 kN. Trouvez le raccourcissement δ.

P = 80 kNbarre: Ø30 mm, E = 200 GPatube: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 40 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 0,5 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton de 1,2 m de long transmet un couple de 1000 N·m. L’angle de torsion entre ses extrémités ne doit pas dépasser 1°. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte cette limite.

T = 1000 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 20 kW à 300 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

50 kN @ 3 m25 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

30 kN @ 6 m50 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 50 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mmM = 50 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Trouvez la contrainte équivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,1799 mm

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·3063 = 3,558 × 10⁸ N

Raccourcissement

δ = 80000·800/3,558 × 10⁸ = 0,1799 mm

Réponse

δ = 0,1799 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,671 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 31,83 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 31,83·500/100000 = 0,1592 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 353,7·500/117000 = 1,511 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,671 mm

Réponse

δ = 1,671 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: d = 65,1 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire requis

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1200/(39000·0,01745) = 1,763 × 10⁶ mm⁴

Diamètre

d = (32J/π)^1/4 = 65,1 mm

Réponse

d = 65,1 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 35,1 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·75)) = 35,1 mm

Réponse

d = 35,1 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 45,83 kN, R₂ = 29,17 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 45,83, M_C = 66,67, M_D = 87,5 kN·m, M_E = 58,33, M_F = 29,17, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 87,5 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 14 kN, R₂ = 66 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 14, M_C = 28, M_D = 42 kN·m, M_E = 6, M_F = −30, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 42 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 14,95 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

âme: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·205 + 2000·100)/3200 = 139,4 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·10³/12 + 1200·(205 − 139,4)² = 5,178 × 10⁶ mm⁴

âme: 10·200³/12 + 2000·(100 − 139,4)² = 9,767 × 10⁶ mm⁴

I_x = 5,178 × 10⁶ + 9,767 × 10⁶ = 1,495 × 10⁷ mm⁴ = 14,95 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 14,95 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 256,1 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

âme: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·110 + 1000·50)/5800 = 99,66 mm

Théorème de Huygens

semelle: 240·20³/12 + 4800·(110 − 99,66)² = 673674 mm⁴

âme: 10·100³/12 + 1000·(50 − 99,66)² = 3,299 × 10⁶ mm⁴

I_x = 673674 + 3,299 × 10⁶ = 3,973 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 120 − 99,66 = 20,34 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·20,34/3,973 × 10⁶ = 256,1 MPa

Réponse

σ_haut = 256,1 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 58,52 MPa

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((140 − 30)/2)² + 20²) = 58,52 MPa

Réponse

τ_max = 58,52 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_vM = 94,87 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 15 MPa, R = 54,08 MPa

σ₁ = 69,08 MPa, σ₂ = −39,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(69,08² − 69,08·(−39,08) + (−39,08)²) = 94,87 MPa

Réponse

σ_vM = 94,87 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 3,102 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 3,102 mm

Réponse

δ_max = 3,102 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 68,57 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·8000⁴/(384·70000·22,22) = 6,857 × 10⁷ mm⁴

I_req = 68,57 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 68,57 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 3,73 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/4200² = 3730 N = 3,73 kN

Réponse

P_cr = 3,73 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 16,11 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/10 = 350

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Réponse

σ_cr = 16,11 MPa

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