Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 35 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1,5 m, acier (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton transmet 75 kW à 750 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 75 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 0,25° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte un couple M₀ = 60 kN·m dans le sens horaire en x = 6 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant M_x juste à droite du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mM₀ = 60 kN·m dans le sens horaire, en 6 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 1 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 20 kN à 1 mw = 8 kN/m de 0 à 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section rectangulaire creuse (caisson) a une largeur extérieure B = 220 mm, une hauteur extérieure H = 300 mm et une épaisseur de paroi uniforme t = 10 mm. Trouvez son rayon de giration r par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

B = 220 mmH = 300 mmt = 10 mm

r = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 110 × 12 mm, une âme de 220 mm de haut et 16 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 200 × 24 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 110 × 12 mmâme: 16 × 220 mmsemelle inférieure: 200 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 120 MPa et σᵧ = −60 MPa. Jusqu’à quelle valeur la contrainte de cisaillement τ_xy (en valeur absolue) peut-elle monter avant que la plus grande contrainte principale atteigne 135 MPa ?

σ_x = 120 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 135 MPa

τ_xy = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = −40 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 45° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 1 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 5 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1 m de l’appui B. Trouvez la flèche δ_mid à mi-portée.

P = 17 kNb = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (acier)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 60 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 60 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 1019 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/490,9 = 71,3 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 71,3/70000 = 0,001019 = 1019 µε

Réponse

ε = 1019 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 309,5 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 309,5 MPa

Réponse

σ_max = 309,5 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 14,94 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(80000·38350) = 0,2608 rad

φ = 0,2608·180/π = 14,94°

Réponse

φ = 14,94°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 86,95 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 86,95 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(40,18, 86,95) = 86,95 mm

Réponse

d = 86,95 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 15 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.

Réactions d’appui

Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : R_B·L − M₀ = 0. Équilibre vertical : R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/8 = 7,5 kN (vers le haut)

R_A = −R_B = −7,5 kN (vers le bas)

Coupure juste à droite du couple

La partie gauche contient maintenant R_A et le couple.

M_x = R_A·a + M₀ = −7,5·6 + 60 = 15 kN·m

Réponse

M_x = 15 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 36,67 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·1 + 8·6·3

R_B = 164/6 = 27,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 27,33 = 40,67 kN

Couper en x = 1 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 40,67·1 − 8·1·0,5 = 36,67 kN·m

Réponse

M_x = 36,67 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: r = 113,6 mm

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême. Le rayon de giration r = √(I/A) est la distance à laquelle toute l’aire donnerait le même I ; il sert au flambement des poteaux.

Aire nette et moment quadratique net

b = 200 mm, h = 280 mm

A = BH − bh = 220·300 − 200·280 = 10000 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,291 × 10⁸ mm⁴

Rayon de giration

r = √(I/A) = √(1,291 × 10⁸/10000) = 113,6 mm

Réponse

r = 113,6 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 84,25 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 1320 mm², y = 250 mm

âme: A = 3520 mm², y = 134 mm

semelle inférieure: A = 4800 mm², y = 12 mm

Centre de gravité

ȳ = (1320·250 + 3520·134 + 4800·12)/9640 = 89,14 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 110·12³/12 + 1320·160,9² = 3,417 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·220³/12 + 3520·44,86² = 2,128 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 200·24³/12 + 4800·77,14² = 2,879 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,417 × 10⁷ + 2,128 × 10⁷ + 2,879 × 10⁷

I_x = 8,425 × 10⁷ mm⁴ = 84,25 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 84,25 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_xy = 54,08 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon requis

C = (120 + (−60))/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 135 − 30 = 105 MPa

Contrainte de cisaillement

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 90²) = 54,08 MPa

Réponse

τ_xy = 54,08 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = −90 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −90·1 + −40·0 = −90 MPa

Réponse

τ_θ = −90 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 28,41 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 5000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 5000·1000²·3000²/(3·1,32 × 10¹¹·4000) = 28,41 mm

Réponse

δ_P = 28,41 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_mid = 9,248 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 17000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Flèche à mi-portée

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 17000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·7,2 × 10¹²) = 9,248 mm

Réponse

δ_mid = 9,248 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 2,481 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2500 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Réponse

P_cr = 2,481 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 117,6 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 117,6 mm

Réponse

d = 117,6 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 204,1, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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