Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une tige en acier (diamètre 30 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en bronze (diamètre extérieur 80 mm, diamètre intérieur 50 mm, E = 110 GPa). Les deux mesurent 500 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 80 kN. Trouvez le raccourcissement δ.

P = 80 kNbarre: Ø30 mm, E = 200 GPatube: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 75 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux en acier (diamètre extérieur 75 mm, diamètre intérieur 38 mm, longueur 1 m) est encastré à une extrémité et soumis à un couple de 1500 N·m à l’autre. Trouvez l’angle de torsion φ en degrés.

T = 1500 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 100 kW à 3000 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 40 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 100 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte un couple M₀ = 30 kN·m dans le sens horaire en x = 3 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant M_x juste à gauche du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mM₀ = 30 kN·m dans le sens horaire, en 3 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

25 kN @ 0 m40 kN @ 6 m45 kN @ 3 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 150 mm × 200 mm a un trou circulaire de diamètre 60 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 60 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmcentre du trou: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 10 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 10 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 120 MPa et σᵧ = 40 MPa. Jusqu’à quelle valeur la contrainte de cisaillement τ_xy (en valeur absolue) peut-elle monter avant que la plus grande contrainte principale atteigne 135 MPa ?

σ_x = 120 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 135 MPa

τ_xy = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 60 mm supporte un moment fléchissant de 500 N·m ainsi qu’un couple de 1500 N·m. À la surface supérieure, où la contrainte de flexion est une traction maximale, trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

d = 60 mmM = 500 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 24 kNw = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,08363 mm

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Raccourcissement

δ = 80000·500/4,783 × 10⁸ = 0,08363 mm

Réponse

δ = 0,08363 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,53 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 59,68 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 59,68·1000/117000 = 0,5101 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·500/117000 = 1,02 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,53 mm

Réponse

δ = 1,53 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,3702 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Angle de torsion

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1000/(80000·2,902 × 10⁶) = 0,006462 rad

φ = 0,006462·180/π = 0,3702°

Réponse

φ = 0,3702°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 34,35 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·40)) = 34,35 mm

Réponse

d = 34,35 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −22,5 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.

Réactions d’appui

Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : R_B·L − M₀ = 0. Équilibre vertical : R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/4 = 7,5 kN (vers le haut)

R_A = −R_B = −7,5 kN (vers le bas)

Coupure juste à gauche du couple

La partie gauche ne contient que R_A.

M_x = R_A·a = −7,5·3 = −22,5 kN·m

Réponse

M_x = −22,5 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: F (x = 5 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 53,75 kN, R₂ = 76,25 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = 1,25, M_D = 22,5, M_E = −6,25, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Réponse

Repère F: M_F = −40 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (30000·100 − 2827·60)/(30000 − 2827) = 104,2 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

150·200³/12 + 30000·−4,162² = 100,5 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−44,16² = 6,151 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 13,49 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

âme: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·247,5 + 2880·120)/7380 = 197,7 mm

Théorème de Huygens

semelle: 300·15³/12 + 4500·(247,5 − 197,7)² = 1,122 × 10⁷ mm⁴

âme: 12·240³/12 + 2880·(120 − 197,7)² = 3,123 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,122 × 10⁷ + 3,123 × 10⁷ = 4,246 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 255 − 197,7 = 57,26 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·57,26/4,246 × 10⁷ = 13,49 MPa

Réponse

σ_haut = 13,49 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_xy = 37,75 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon requis

C = (120 + 40)/2 = 80 MPa

R = σ₁ − C = 135 − 80 = 55 MPa

Contrainte de cisaillement

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 40²) = 37,75 MPa

Réponse

τ_xy = 37,75 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 37,28 MPa

Contraintes à la surface

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·60³) = 23,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = 11,79 MPa

R = √(11,79² + 35,37²) = 37,28 MPa

Réponse

τ_max = 37,28 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 3,342 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 3,342 mm

Réponse

δ_max = 3,342 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 27,24 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 24000 N, w = 12 N/mm, L = 5000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·5000³/(48·5,88 × 10¹²) = 10,63 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 16,61 mm

Les additionner

δ_max = 10,63 + 16,61 = 27,24 mm

Réponse

δ_max = 27,24 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 79,96 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/750² = 79962 N = 79,96 kN

Réponse

P_cr = 79,96 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 6,747 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Réponse

σ_cr = 6,747 MPa

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