Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 300 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en bronze (diamètre 30 mm, longueur 300 mm, E = 110 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,4 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatronçon 2: bronze, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 105 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 20 kW à 1500 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 60 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 10 kN/m de 0 à 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mP = 40 kN à 4 mw = 12 kN/m de 0 à 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 300 mm de large avec deux ailes verticales de 150 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 20 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 300 mmh = 150 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 15 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 1200 mm et d’épaisseur de paroi 8 mm, contient un gaz à une pression relative de 3 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 30° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de cisaillement |τ_n| qui agit le long du cordon de soudure.

D = 1200 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 30°

|τ_n| = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (bois de structure)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 70 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 79,18 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·706,9) = 3,858 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,4/5,052 × 10⁻⁶ = 79177 N = 79,18 kN

Réponse

P = 79,18 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 9,868 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 148,5 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 148,5·1500/70000 = 3,183 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 334,2·2000/100000 = 6,685 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,868 mm

Réponse

δ = 9,868 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 1,169 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·251327) = 0,0204 rad

φ = 0,0204·180/π = 1,169°

Réponse

φ = 1,169°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 22,11 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22,11 mm

Réponse

d = 22,11 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 43,75 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 30·2,5 − 10·2,5·1,25 = 43,75 kN·m

Réponse

M_x = 43,75 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 240 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·4 + 12·10·5

R_B = 760/10 = 76 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 76 = 84 kN

Couper en x = 4 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 84·4 − 12·4·2 = 240 kN·m

Réponse

M_x = 240 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 23,19 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 300·20 = 6000 mm², y₁ = 10 mm

deux ailes: A₂ = 2·20·130 = 5200 mm², y₂ = 20 + 130/2 = 85 mm

Centre de gravité

ȳ = (6000·10 + 5200·85)/11200 = 44,82 mm

Théorème de Huygens

excipient: 300·20³/12 + 6000·(10 − 44,82)² = 7,475 × 10⁶ mm⁴

deux ailes: 2·20·130³/12 + 5200·(85 − 44,82)² = 1,572 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,475 × 10⁶ + 1,572 × 10⁷

I_x = 2,319 × 10⁷ mm⁴ = 23,19 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 23,19 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 175,2 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

âme: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·170 + 1600·80)/4400 = 137,3 mm

Théorème de Huygens

semelle: 140·20³/12 + 2800·(170 − 137,3)² = 3,092 × 10⁶ mm⁴

âme: 10·160³/12 + 1600·(80 − 137,3)² = 8,662 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,092 × 10⁶ + 8,662 × 10⁶ = 1,175 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 137,3 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·137,3/1,175 × 10⁷ = 175,2 MPa

Réponse

σ_bas = 175,2 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 90,14 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((120 − −30)/2)² + −50²) = 90,14 MPa

Réponse

τ_max = 90,14 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: |τ_n| = 48,71 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 3·600/8 = 225 MPa

σ_a = pr/(2t) = 112,5 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

|τ_n| = (225 − 112,5)·sin 30°·cos 30° = 48,71 MPa

Réponse

|τ_n| = 48,71 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 16,28 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 16,28 mm

Réponse

δ = 16,28 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 1381 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,381 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1381 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 1381 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 15,5 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2000 = 4000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15,5 kN

Réponse

P_cr = 15,5 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 42,46 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 42,46 mm

Réponse

d = 42,46 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 141,3, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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