Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en acier, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 400 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en laiton (diamètre 40 mm, longueur 200 mm, E = 100 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 40 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatronçon 2: laiton, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier de 1,2 m de long transmet un couple de 2000 N·m. L’angle de torsion entre ses extrémités ne doit pas dépasser 1,5°. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte cette limite.

T = 2000 N·mL = 1,2 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 25 mm est encastré dans des murs rigides à ses deux extrémités A et B. Un couple de 1500 N·m est appliqué en C, à 1,5 m de A et 0,5 m de B. Trouvez le couple de réaction T_A au mur A.

d = 25 mmT₀ = 1500 N·ma = 1,5 mb = 0,5 m

T_A = N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mw = 10 kN/m de 0 à 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 20 kN à 5 mw = 4 kN/m de 0 à 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 240 mm de large avec deux ailes verticales de 80 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 20 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 240 mmh = 80 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 150 mm × 240 mm a une découpe rectangulaire de 40 mm de large et 20 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 84 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 150 mmh = 240 mmdécoupe: 40 × 20 mmcentre du trou: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 70 MPa et σᵧ = 100 MPa. Jusqu’à quelle valeur la contrainte de cisaillement τ_xy (en valeur absolue) peut-elle monter avant que la plus grande contrainte principale atteigne 120 MPa ?

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 120 MPa

τ_xy = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −50 MPa, σᵧ = 40 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 125 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 125 mm

h_req = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 100 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 100 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 663,1 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113,1 = 132,6 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 132,6/200000 = 0,0006631 = 663,1 µε

Réponse

ε = 663,1 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 15,92 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 40000·628319/1,257 × 10⁶ = 20000 N

Contrainte

σ₂ = 20000/1257 = 15,92 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 15,92 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: d = 58,45 mm

Moment polaire requis

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·1200/(80000·0,02618) = 1,146 × 10⁶ mm⁴

Diamètre

d = (32J/π)^1/4 = 58,45 mm

Réponse

d = 58,45 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

4.Torsion des arbres

Réponse: T_A = 375 N·m

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω. Quand les deux extrémités sont encastrées, la statique seule ne donne que T_A + T_B = T₀ ; la deuxième équation est la compatibilité (même rotation des deux parties à la section chargée).

Équilibre et compatibilité

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·0,5/2 = 375 N·m

T_B = 1500·1,5/2 = 1125 N·m

Réponse

T_A = 375 N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 15 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Couper en x = 3 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 20·3 − 10·3·1,5 = 15 kN·m

Réponse

M_x = 15 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 26,67 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·5 + 4·6·3

R_B = 172/6 = 28,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 28,67 = 15,33 kN

Couper en x = 5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 15,33·5 − 4·5·2,5 = 26,67 kN·m

Réponse

M_x = 26,67 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 3,44 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 240·20 = 4800 mm², y₁ = 10 mm

deux ailes: A₂ = 2·20·60 = 2400 mm², y₂ = 20 + 60/2 = 50 mm

Centre de gravité

ȳ = (4800·10 + 2400·50)/7200 = 23,33 mm

Théorème de Huygens

excipient: 240·20³/12 + 4800·(10 − 23,33)² = 1,013 × 10⁶ mm⁴

deux ailes: 2·20·60³/12 + 2400·(50 − 23,33)² = 2,427 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,013 × 10⁶ + 2,427 × 10⁶

I_x = 3,44 × 10⁶ mm⁴ = 3,44 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 3,44 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 171,7 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (36000·120 − 800·84)/(36000 − 800) = 120,8 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

150·240³/12 + 36000·−0,8182² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

40·20³/12 + 800·−36,82² = 1,111 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 171,7 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 171,7 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_xy = 31,62 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon requis

C = (70 + 100)/2 = 85 MPa

R = σ₁ − C = 120 − 85 = 35 MPa

Contrainte de cisaillement

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 15²) = 31,62 MPa

Réponse

τ_xy = 31,62 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −52,33 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = −5 + −45·0,766 + −20·0,6428 = −52,33 MPa

Réponse

σ_θ = −52,33 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 63,24 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·2,53 × 10¹¹) = 63,24 mm

Réponse

δ = 63,24 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 218,8 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,091 × 10⁸ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·1,091 × 10⁸/125)^1/3 = 218,8 mm

Réponse

h_req = 218,8 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 6,759 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1400² = 6759 N = 6,759 kN

Réponse

P_cr = 6,759 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 101 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·100000 = 200000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 101 mm

Réponse

d = 101 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 166,3, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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