Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en cuivre sous l’effort axial.

P = 20 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 110 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux doit transmettre un couple de 2000 N·m. Son diamètre intérieur doit valoir 0,7 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 5 kW à 1500 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte un couple M₀ = 20 kN·m dans le sens horaire en x = 7 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant M_x juste à gauche du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mM₀ = 20 kN·m dans le sens horaire, en 7 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 10 mw = 12 kN/m de 0 à 3 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en I symétrique a des semelles de 220 mm de large et 14 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 380 mm et une âme de 8 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 220 mmH = 380 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 130 mm de large et 10 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 420 mm et une âme de 8 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 40 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion maximale σ_max dans la section.

B = 130 mmH = 420 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −50 MPa, σᵧ = 60 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 70 MPa, σᵧ = −60 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 50° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 70 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 4 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 20 kNa = 4 mL = 5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 3 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 60 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 60 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,088 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78,54 = 254,6 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/117000 = 0,002176 = 2176 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,002176·500 mm = 1,088 mm

Réponse

δ = 1,088 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 3,741 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·1000/117000 = 0,7482 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·1000/117000 = 2,993 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,741 mm

Réponse

δ = 3,741 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 56,33 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·75·0,7599)) = 56,33 mm

d_i = 0,7·56,33 = 39,43 mm

Réponse

d_o = 56,33 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 51,4 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 14,8 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·50)) = 14,8 mm

Réponse

d = 14,8 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −14 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.

Réactions d’appui

Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : R_B·L − M₀ = 0. Équilibre vertical : R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/10 = 2 kN (vers le haut)

R_A = −R_B = −2 kN (vers le bas)

Coupure juste à gauche du couple

La partie gauche ne contient que R_A.

M_x = R_A·a = −2·7 = −14 kN·m

Réponse

M_x = −14 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 39,02 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, appliquée en x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·3·1,5

R_B = 54/10 = 5,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 5,4 = 30,6 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 30,6/12 = 2,55 m

Moment maximal

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 30,6·2,55 − 12·2,55²/2 = 39,02 kN·m

Réponse

M_max = 39,02 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 235,5 × 10⁶ mm⁴

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 380 − 2·14 = 352 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·380³ − 212·352³)/12

I_x = 2,355 × 10⁸ mm⁴ = 235,5 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 235,5 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_max = 55,28 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 420 − 2·10 = 400 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·420³ − 122·400³)/12

I_x = 1,52 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 210 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·210/1,52 × 10⁸ = 55,28 MPa

Réponse

σ_max = 55,28 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 74,33 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−50 − 60)/2)² + −50²) = 74,33 MPa

Réponse

τ_max = 74,33 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −65,38 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 5 + 65·−0,1736 + −60·0,9848 = −65,38 MPa

Réponse

σ_θ = −65,38 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 34,02 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·4000²·1000²/(3·6,27 × 10¹¹·5000) = 34,02 mm

Réponse

δ_P = 34,02 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 11,25 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·3/8 = 11,25 kN

Réponse

R_B = 11,25 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 36,85 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·1000 = 1000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1000² = 36847 N = 36,85 kN

Réponse

P_cr = 36,85 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 41,74 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 41,74 mm

Réponse

d = 41,74 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 134,2, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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