Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une tige en acier (diamètre 25 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en laiton (diamètre extérieur 120 mm, diamètre intérieur 50 mm, E = 100 GPa). Les deux mesurent 600 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 200 kN. Trouvez le raccourcissement δ.

P = 200 kNbarre: Ø25 mm, E = 200 GPatube: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 10 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 500 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium de diamètre 40 mm est encastré en A. Un couple de 500 N·m agit en B, à 0,8 m de A, et un couple de 250 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 1,2 m plus loin. Trouvez la valeur absolue de l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 0,8 mBC = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte deux charges ponctuelles. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 4 mP₁ = 30 kN à 1,5 mP₂ = 40 kN à 2 m

M_max = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 35 kN à 4 mw = 10 kN/m de 0 à 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 150 mm × 240 mm a une découpe rectangulaire de 50 mm de large et 30 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 72 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 150 mmh = 240 mmdécoupe: 50 × 30 mmcentre du trou: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 160 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = 60 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 35° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 160 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acier)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 25 kNw = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,1162 mm

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·9346 = 1,033 × 10⁹ N

Raccourcissement

δ = 200000·600/1,033 × 10⁹ = 0,1162 mm

Réponse

δ = 0,1162 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,8094 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 20,37 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,37·2000/70000 = 0,5821 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31,83·500/70000 = 0,2274 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8094 mm

Réponse

δ = 0,8094 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,5986 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·613592) = 0,01045 rad

φ = 0,01045·180/π = 0,5986°

Réponse

φ = 0,5986°

4.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 0,8768 °

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 500 = −250 N·m

Torsion de chaque tronçon

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −250000·800/(26000·251327) = −0,03061 rad

φ_BC = 250000·1200/(26000·251327) = 0,04591 rad

Torsion de l’extrémité C

φ_C = −0,03061 + 0,04591 = 0,0153 rad → |φ_C| = 0,8768°

Réponse

φ_C = 0,8768°

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 62,5 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1,5 + 40·2

R_B = 125/4 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 31,25 = 38,75 kN

Moment sous chaque charge

Gardez la partie à gauche de chaque charge.

sous P₁: M = R_A·1,5 = 38,75·1,5 = 58,13 kN·m

sous P₂: M = R_B·2 = 31,25·2 = 62,5 kN·m

Plus grande valeur

M_max = 62,5 kN·m (sous P₂)

Réponse

M_max = 62,5 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 86,67 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·4 + 10·6·3

R_B = 320/6 = 53,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 53,33 = 41,67 kN

Couper en x = 4 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 41,67·4 − 10·4·2 = 86,67 kN·m

Réponse

M_x = 86,67 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 5,13 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

âme: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·127,5 + 1200·60)/3600 = 105 mm

Théorème de Huygens

semelle: 160·15³/12 + 2400·(127,5 − 105)² = 1,26 × 10⁶ mm⁴

âme: 10·120³/12 + 1200·(60 − 105)² = 3,87 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,26 × 10⁶ + 3,87 × 10⁶ = 5,13 × 10⁶ mm⁴ = 5,13 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 5,13 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 169,1 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (36000·120 − 1500·72)/(36000 − 1500) = 122,1 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

150·240³/12 + 36000·−2,087² = 173 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

50·30³/12 + 1500·−50,09² = 3,876 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 169,1 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 169,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 64,9 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, −80 − −30) = 129,8°

Angle sur l’élément

θ_p = 64,9°

Réponse

θ_p = 64,9°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 153,9 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 65 + 95·0,342 + 60·0,9397 = 153,9 MPa

Réponse

σ_θ = 153,9 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 1,831 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 1,831 mm

Réponse

δ = 1,831 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 18,31 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 25000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 25000·1500³/(48·1,32 × 10¹¹) = 13,32 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 4,994 mm

Les additionner

δ_max = 13,32 + 4,994 = 18,31 mm

Réponse

δ_max = 18,31 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 163,2 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/2100² = 163188 N = 163,2 kN

Réponse

P_cr = 163,2 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 24,48 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/6,25 = 168

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24,48 MPa

Réponse

σ_cr = 24,48 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials