Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 115 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 75 kW à 3000 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

15 kN @ 5 m10 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 1 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 45 kN à 1 mw = 6 kN/m de 0 à 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en I symétrique a des semelles de 180 mm de large et 16 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 460 mm et une âme de 6 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 180 mmH = 460 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 30 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa et τₓᵧ = −40 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 30° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acier)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acier)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 35 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 35 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 18189 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1273/70000 = 0,01819 = 18189 µε

Réponse

ε = 18189 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 4,818 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 162,7 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 162,7·2000/100000 = 3,254 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 366,1·500/117000 = 1,564 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,818 mm

Réponse

δ = 4,818 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 1,077 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·613592) = 0,0188 rad

φ = 0,0188·180/π = 1,077°

Réponse

φ = 1,077°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 25 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 238732·20/190984 = 25 MPa

Réponse

τ_max = 25 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 29,17 kN, R₂ = 25,83 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 24,17, M_C = 38,33, M_D = 42,5 kN·m, M_E = 36,67, M_F = 25,83, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 42,5 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 52,5 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1 + 6·6·3

R_B = 153/6 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 81 − 25,5 = 55,5 kN

Couper en x = 1 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 55,5·1 − 6·1·0,5 = 52,5 kN·m

Réponse

M_x = 52,5 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 323,2 × 10⁶ mm⁴

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 460 − 2·16 = 428 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·460³ − 174·428³)/12

I_x = 3,232 × 10⁸ mm⁴ = 323,2 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 323,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 40,9 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

âme: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·192,5 + 2880·90)/10380 = 164,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 300·25³/12 + 7500·(192,5 − 164,1)² = 6,457 × 10⁶ mm⁴

âme: 16·180³/12 + 2880·(90 − 164,1)² = 2,357 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,457 × 10⁶ + 2,357 × 10⁷ = 3,003 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 205 − 164,1 = 40,94 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·40,94/3,003 × 10⁷ = 40,9 MPa

Réponse

σ_haut = 40,9 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 7,973 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 80 − −60) = 15,95°

Angle sur l’élément

θ_p = 7,973°

Réponse

θ_p = 7,973°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 34,64 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = −20 + 40·0,5 + −40·−0,866 = 34,64 MPa

Réponse

σ_θ = 34,64 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 6,645 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 6,645 mm

Réponse

δ_max = 6,645 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 1,465 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2500⁴/(384·200000·6,944) = 1,465 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,465 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 1,465 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 4,205 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Réponse

P_cr = 4,205 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 79,03 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,03 mm

Réponse

d = 79,03 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 303,7, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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