Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 10 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 400 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en aluminium (diamètre 50 mm, longueur 300 mm, E = 70 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 60 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux doit transmettre un couple de 750 N·m. Son diamètre intérieur doit valoir 0,8 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 60 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium de diamètre 60 mm est encastré en A. Un couple de 200 N·m agit en B, à 1 m de A, et un couple de 400 N·m de même sens agit à l’extrémité libre C, 2,5 m plus loin. Trouvez la valeur absolue de l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

d = 60 mmT_B = 200 N·mT_C = 400 N·mAB = 1 mBC = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

15 kN @ 1 m10 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

35 kN @ 0 m10 kN @ 6 m10 kN @ 3 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 120 mm × 300 mm a un trou circulaire de diamètre 40 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 120 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmcentre du trou: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 100 mm × 150 mm a une découpe rectangulaire de 30 mm de large et 40 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 105 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 100 mmh = 150 mmdécoupe: 30 × 40 mmcentre du trou: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = 60 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 30 mm supporte un effort de compression axial de 200 kN ainsi qu’un couple de 100 N·m. À la surface de l’arbre, trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

d = 30 mmF = −200 kNT = 100 N·m

τ_max = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 1,5 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 10 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (acier)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 18 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,2546 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/490,9 = 20,37 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 20,37/200000 = 0,0001019 = 101,9 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,0001019·2500 mm = 0,2546 mm

Réponse

δ = 0,2546 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 12,89 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 60000·458149/1,086 × 10⁶ = 25301 N

Contrainte

σ₂ = 25301/1963 = 12,89 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 12,89 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 47,6 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·60·0,5904)) = 47,6 mm

d_i = 0,8·47,6 = 38,08 mm

Réponse

d_o = 47,6 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 39,93 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

4.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 2,771 °

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 200 = 600 N·m

Torsion de chaque tronçon

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 600000·1000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,01814 rad

φ_BC = 400000·2500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,03023 rad

Torsion de l’extrémité C

φ_C = 0,01814 + 0,03023 = 0,04837 rad → |φ_C| = 2,771°

Réponse

φ_C = 2,771°

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 2 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 19,17 kN, R₂ = 5,833 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 19,17, M_C = 23,33 kN·m, M_D = 17,5, M_E = 11,67, M_F = 5,833, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 23,33 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: B (x = 1 m)

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 61,33 kN, R₂ = 29,67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −35 kN·m, M_C = −14,67, M_D = −6,333, M_E = −20, M_F = −10, M_G = 0

Réponse

Repère B: M_B = −35 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (36000·150 − 1257·120)/(36000 − 1257) = 151,1 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,085² = 270 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−31,09² = 1,34 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 26,79 × 10⁶ mm⁴

Centre de gravité

ȳ = (15000·75 − 1200·105)/(15000 − 1200) = 72,39 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

100·150³/12 + 15000·2,609² = 28,23 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

30·40³/12 + 1200·32,61² = 1,436 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 26,79 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 26,79 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 23,74 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 90 − −20) = 47,49°

Angle sur l’élément

θ_p = 23,74°

Réponse

θ_p = 23,74°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 142,7 MPa

Contraintes à la surface

σ = F/A = −200000/(π·30²/4) = −200000/706,9 = −282,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = −141,5 MPa

R = √((−141,5)² + 18,86²) = 142,7 MPa

Réponse

τ_max = 142,7 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 10,81 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 10000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·1500²·3500²/(3·1,7 × 10¹²·5000) = 10,81 mm

Réponse

δ_P = 10,81 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 14,56 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 18000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·3000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 12,05 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 2,511 mm

Les additionner

δ_max = 12,05 + 2,511 = 14,56 mm

Réponse

δ_max = 14,56 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 24,67 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·1500 = 3000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/3000² = 24674 N = 24,67 kN

Réponse

P_cr = 24,67 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 21,93 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Réponse

σ_cr = 21,93 MPa

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