Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 25 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en laiton (diamètre 50 mm, longueur 300 mm, E = 100 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,25 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: laiton, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 60 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 0,5 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 2 m, cuivre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux en acier (diamètre extérieur 60 mm, diamètre intérieur 36 mm, longueur 1 m) est encastré à une extrémité et soumis à un couple de 750 N·m à l’autre. Trouvez l’angle de torsion φ en degrés.

T = 750 N·md_o = 60 mmd_i = 36 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton transmet 5 kW à 1500 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 60 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 0,75° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez l’effort tranchant V_x dans la section x = 4,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 8 kN/m de 0 à 6 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 5 mw = 10 kN/m de 0 à 3 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 150 mm × 200 mm a un trou circulaire de diamètre 30 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 80 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmcentre du trou: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une poutre en fonte a la section en T représentée, semelle en haut. Les contraintes admissibles sont de 60 MPa en traction et 90 MPa en compression. Trouvez le plus grand moment fléchissant négatif M_allow que la poutre peut supporter (donnez sa valeur absolue).

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −30 MPa, σᵧ = −80 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 500 mm et d’épaisseur de paroi 6 mm, contient un gaz à une pression relative de 0,5 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 60° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la contrainte normale σ_n qui agit perpendiculairement au cordon de soudure.

D = 500 mmt = 6 mmp = 0,5 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 2 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 85 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 85 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 37,76 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1,528 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,25/6,621 × 10⁻⁶ = 37760 N = 37,76 kN

Réponse

P = 37,76 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 298,4 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 298,4 MPa

Réponse

σ_max = 298,4 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,485 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Angle de torsion

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(80000·1,107 × 10⁶) = 0,008465 rad

φ = 0,008465·180/π = 0,485°

Réponse

φ = 0,485°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 28,23 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·60)) = 13,93 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 28,23 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(13,93, 28,23) = 28,23 mm

Réponse

d = 28,23 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: V_x = −12 kN

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Couper en x = 4,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

V = R_A − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)

V_x = 24 − 8·4,5 = −12 kN

Réponse

V_x = −12 kN

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 22,05 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, appliquée en x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3·1,5

R_B = 45/5 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 9 = 21 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 21/10 = 2,1 m

Moment maximal

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 21·2,1 − 10·2,1²/2 = 22,05 kN·m

Réponse

M_max = 22,05 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (30000·100 − 706,9·80)/(30000 − 706,9) = 100,5 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

150·200³/12 + 30000·−0,4826² = 100 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−20,48² = 0,3363 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: M_allow = 20,98 kN·m

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Centre de gravité

ȳ = (2400·225 + 3960·110)/6360 = 153,4 mm

bord supérieur: c = 230 − 153,4 = 76,6 mm

Moment quadratique

I = 240·10³/12 + 2400·71,6² + 18·220³/12 + 3960·43,4² = 3,575 × 10⁷ mm⁴

Moment admis par chaque bord

Moment négatif : le haut est tendu, le bas comprimé.

bord supérieur: M = 60·3,575 × 10⁷/76,6 = 28 kN·m

bord inférieur: M = 90·3,575 × 10⁷/153,4 = 20,98 kN·m

Valeur déterminante

M_allow = min = 20,98 kN·m (bord inférieur)

Réponse

M_allow = 20,98 kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 39,05 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−30 − −80)/2)² + 30²) = 39,05 MPa

Réponse

τ_max = 39,05 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_n = 13,02 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 0,5·250/6 = 20,83 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10,42 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

σ_n = 10,42·sin²60° + 20,83·cos²60° = 13,02 MPa

Réponse

σ_n = 13,02 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 5,046 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 5,046 mm

Réponse

δ = 5,046 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 12,22 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 2000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 1,111 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 11,11 mm

Les additionner

δ_max = 1,111 + 11,11 = 12,22 mm

Réponse

δ_max = 12,22 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 19,62 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2000 = 2000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Réponse

P_cr = 19,62 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 128,3 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 128,3 mm

Réponse

d = 128,3 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 187,1, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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