Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale
σ = F/A
Déformation
ε = ΔL/L
Loi de Hooke
σ = E·ε
Allongement
ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique
εT = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement
τ = T·r/J
Arbre plein
J = πd⁴/32
Arbre creux
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion
φ = TL/(GJ)
Puissance
P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

  1. Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
  2. Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
  3. Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
  4. Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectangle
I = bh³/12
Théorème de Huygens
I = Ic + A·d²
Section composée
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre
C = (σx + σy)/2
Rayon
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Contraintes principales
σ1,2 = C ± R
Direction principale
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Facette inclinée
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Méthode

  1. Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
  2. Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
  4. Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen
Ø 20 mmCuivre3 mP = 65 kN

Trouvez l’allongement δ de la barre en cuivre sous l’effort axial.

P = 65 kNd = 20 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Contrainte et déformation axialesDifficile
P = ?Ø20100 GPaØ100/60500 mm

Une tige en acier (diamètre 20 mm, E = 200 GPa, contrainte admissible 200 MPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en laiton (diamètre extérieur 100 mm, diamètre intérieur 60 mm, E = 100 GPa, contrainte admissible 60 MPa). Ils sont comprimés ensemble entre des plaques rigides. Trouvez la plus grande charge Pmax.

barre: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatube: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Torsion des arbresMoyen
d = 12 mmT = 30 N·m400 mmφ = 12,99°

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 12 mm est soumise à un couple de 30 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 400 mm tournent de 12,99° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 30 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 12,99°
G = GPa
4.Torsion des arbresDifficile
d = 30 mmTB​ = 200 N·mTC​ = 500 N·mABC0,5 m1,2 m

Un arbre plein en acier de diamètre 30 mm est encastré en A. Un couple de 200 N·m agit en B, à 0,5 m de A, et un couple de 500 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 1,2 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τmax dans l’arbre.

d = 30 mmTB = 200 N·mTC = 500 N·mAB = 0,5 mBC = 1,2 m
τmax = MPa
5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
P1​ = 40 kNP2​ = 25 kNABC3 m1 m1,5 m

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P1 entre les appuis et une charge ponctuelle P2 en C. Trouvez le moment fléchissant MB à l’appui B. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5,5 mP1 = 40 kN à 3 mP2 = 25 kN à 5,5 mappuis en x = 0 et x = 4 m
MB = kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
w = 6 kN/mP = 20 kNABcoupe1 m2,5 m1,5 m

Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 3,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mP = 20 kN à 1 mw = 6 kN/m de 0 à 5 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
1804801410xcotes en mm

Une section en I symétrique a des semelles de 180 mm de large et 14 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 480 mm et une âme de 10 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique Ix par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 180 mmH = 480 mmtf = 14 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
150 mm240 mm168 mm80 × 40xIx​ = ?

Une plaque de 150 mm × 240 mm a une découpe rectangulaire de 80 mm de large et 40 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 168 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique Ix par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 150 mmh = 240 mmdécoupe: 80 × 40 mmcentre du trou: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen
σx​ = 50σy​ = −10τxy​ = 30MPa

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τmax.

σx = 50 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile
σx​ = 30σy​ = 50τxy​ = −10MPa

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa et τₓᵧ = −10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τθ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σx = 30 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPaθ = 20°
τθ = MPa
11.Flèche d’une poutreMoyen
w = 6 kN/mδL = 3 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δmax, à mi-portée.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flèche d’une poutreDifficile
P = 12 kNABδ4,5 m3,5 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 3,5 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δmax de la poutre.

P = 12 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Flambement des poteauxMoyen
PL = 4 md = 25 mmsection

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Flambement des poteauxDifficile
P = 140 kNL = 1,5 md = ?section

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 140 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 140 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 5,305 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 65·1000/314,2 = 206,9 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 206,9/117000 = 0,001768 = 1768 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001768·3000 mm = 5,305 mm

Réponse

δ = 5,305 mm
2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: Pmax = 339,3 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·5027 = 5,655 × 10⁸ N

Déformation déterminante

ε = min(0,001, 0,0006) = 0,0006 (laiton)

Charge maximale

Pmax = 0,0006·5,655 × 10⁸ = 339292 N = 339,3 kN

Réponse

Pmax = 339,3 kN
3.Torsion des arbres

Réponse: G = 26 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 12,99·π/180 = 0,2267 rad

Module de cisaillement

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·400/(2036·0,2267) = 26000 MPa
G = 26 GPa

Réponse

G = 26 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: τmax = 94,31 MPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Couples internes

Sens de TC pris comme positif.

TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC − TB = 500 − 200 = 300 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|max = 500 N·m
τmax = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Réponse

τmax = 94,31 MPa
5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: MB = −37,5 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.

ΣMA = 0: RB·4 = 40·3 + 25·5,5
RB = 257,5/4 = 64,38 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 64,38 = 0,625 kN

Coupure en B en gardant le porte-à-faux

Seule P2 agit sur le porte-à-faux, avec un bras de levier a. Elle fait fléchir la poutre vers le haut au-dessus de l’appui (flexion négative).

MB = −P2·a = −25·1,5 = −37,5 kN·m

Réponse

MB = −37,5 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: Mx = 21,75 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·1 + 6·5·2,5
RB = 95/5 = 19 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 19 = 31 kN
w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​ = 31RB​ = 19coupe1 m2,5 m1,5 m

Couper en x = 3,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 31·3,5 − 20·(3,5 − 1) − 6·3,5·1,75 = 21,75 kN·m

Réponse

Mx = 21,75 kN·m
7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: Ix = 350,7 × 10⁶ mm⁴

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = Ic + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − tw) de large et hw = H − 2tf de haut, et sont rapportés à l’axe x.

hw = 480 − 2·14 = 452 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·480³ − 170·452³)/12
Ix = 3,507 × 10⁸ mm⁴ = 350,7 × 10⁶ mm⁴

Réponse

Ix = 350,7 × 10⁶ mm⁴
8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: Ix = 164,3 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a Ic = bh³/12 et un cercle Ic = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (36000·120 − 3200·168)/(36000 − 3200) = 115,3 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

150·240³/12 + 36000·4,683² = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

80·40³/12 + 3200·52,68² = 9,308 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

Ix = 164,3 × 10⁶ mm⁴

Réponse

Ix = 164,3 × 10⁶ mm⁴
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τmax = 42,43 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

στxyCτmax​

Rayon du cercle de Mohr

τmax = R = √(((50 − −10)/2)² + 30²) = 42,43 MPa

Réponse

τmax = 42,43 MPa
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τθ = −1,233 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère

τθ = −−10·0,6428 + −10·0,766 = −1,233 MPa

Réponse

τθ = −1,233 MPa
11.Flèche d’une poutre

Réponse: δmax = 3,931 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 3,931 mm

Réponse

δmax = 3,931 mm
12.Flèche d’une poutre

Réponse: δmax = 71,24 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 12000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

Flèche maximale

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 71,24 mm

Réponse

δmax = 71,24 mm
13.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 3,312 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Réponse

Pcr = 3,312 kN
14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 65,65 mm

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Charge critique nécessaire

Pcr = n·P = 2·140000 = 280000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 65,65 mm

Réponse

d = 65,65 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 91,39, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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