Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en cuivre sous l’effort axial.

P = 60 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 65 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 40 mm est encastré en A. Un couple de 500 N·m agit en B, à 0,8 m de A, et un couple de 500 N·m de même sens agit à l’extrémité libre C, 0,8 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,8 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez l’effort tranchant V_x dans la section x = 0,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 8 kN/m de 0 à 6 mx = 0,5 m

V_x = kN

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

15 kN @ 12 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 100 × 22 mm, une âme de 310 mm de haut et 8 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 170 × 24 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 100 × 22 mmâme: 8 × 310 mmsemelle inférieure: 170 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 50 mm supporte un effort de compression axial de 170 kN ainsi qu’un couple de 1000 N·m. À la surface de l’arbre, trouvez la plus grande contrainte principale σ₁.

d = 50 mmF = −170 kNT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 2 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte deux charges ponctuelles égales P aux tiers de la portée (à L/3 de chaque appui). Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 3 kNL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 20 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 20 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 3,265 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 60·1000/78,54 = 763,9 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 763,9/117000 = 0,006529 = 6529 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,006529·500 mm = 3,265 mm

Réponse

δ = 3,265 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 323,3 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 323,3 MPa

Réponse

σ_max = 323,3 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 1,796 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Réponse

φ = 1,796°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 79,58 MPa

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 500 = 1000 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79,58 MPa

Réponse

τ_max = 79,58 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: V_x = 20 kN

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Couper en x = 0,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

V = R_A − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)

V_x = 24 − 8·0,5 = 20 kN

Réponse

V_x = 20 kN

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 11,25 kN, R₂ = 28,75 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 22,5, M_C = −5, M_D = −32,5, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = −60 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 25,73 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

âme: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·207,5 + 2400·100)/6600 = 168,4 mm

Théorème de Huygens

semelle: 280·15³/12 + 4200·(207,5 − 168,4)² = 6,497 × 10⁶ mm⁴

âme: 12·200³/12 + 2400·(100 − 168,4)² = 1,923 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,497 × 10⁶ + 1,923 × 10⁷ = 2,573 × 10⁷ mm⁴ = 25,73 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 25,73 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 183,1 × 10⁶ mm⁴

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 2200 mm², y = 345 mm

âme: A = 2480 mm², y = 179 mm

semelle inférieure: A = 4080 mm², y = 12 mm

Centre de gravité

ȳ = (2200·345 + 2480·179 + 4080·12)/8760 = 142,9 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 100·22³/12 + 2200·202,1² = 8,994 × 10⁷ mm⁴

âme: 8·310³/12 + 2480·36,09² = 2,309 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 170·24³/12 + 4080·130,9² = 7,012 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,994 × 10⁷ + 2,309 × 10⁷ + 7,012 × 10⁷

I_x = 1,831 × 10⁸ mm⁴ = 183,1 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 183,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 22,36 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−40 − 0)/2)² + 10²) = 22,36 MPa

Réponse

τ_max = 22,36 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ₁ = 16,16 MPa

Contraintes à la surface

σ = F/A = −170000/(π·50²/4) = −170000/1963 = −86,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40,74 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = −43,29 MPa

R = √((−43,29)² + 40,74²) = 59,45 MPa

σ₁ = C + R = 16,16 MPa

σ₂ = C − R = −102,7 MPa

Réponse

σ₁ = 16,16 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 2,461 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 2000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 2000·3000³/(3·3,2 × 10¹³) = 0,5625 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 1,898 mm

Les additionner

δ = 0,5625 + 1,898 = 2,461 mm

Réponse

δ = 2,461 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 3,912 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Une charge à L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 1,956 mm

Additionner les deux charges

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 3,912 mm

Réponse

δ_max = 3,912 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 4,326 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1750² = 4326 N = 4,326 kN

Réponse

P_cr = 4,326 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 52,48 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 52,48 mm

Réponse

d = 52,48 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 266,8, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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