Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en laiton, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 10 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 70 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 500 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium transmet 15 kW à 1450 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 40 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 1° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

60 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez le moment fléchissant positif maximal M_max entre les appuis.

L = 6,5 mw = 6 kN/m de 0 à 6,5 mappuis en x = 0 et x = 5 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Un tube circulaire a un diamètre extérieur D = 290 mm et un diamètre intérieur d = 274 mm. Trouvez son rayon de giration r par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

D = 290 mmd = 274 mm

r = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 170 × 18 mm, une âme de 220 mm de haut et 10 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 250 × 24 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 170 × 18 mmâme: 10 × 220 mmsemelle inférieure: 250 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 140 MPa, σᵧ = −70 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −70 MPa, σᵧ = 120 MPa et τₓᵧ = −10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 45° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δ_max de la poutre.

P = 22 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 80 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 80 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 4456 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 445,6/100000 = 0,004456 = 4456 µε

Réponse

ε = 4456 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 7,556 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 142,6·2000/70000 = 4,074 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 348,2·1000/100000 = 3,482 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,556 mm

Réponse

δ = 7,556 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,9577 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(39000·613592) = 0,01672 rad

φ = 0,01672·180/π = 0,9577°

Réponse

φ = 0,9577°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 38,59 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 98,79 N·m = 98786 N·mm

d_τ = ∛(16·98786/(π·40)) = 23,26 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·98786/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 38,59 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(23,26, 38,59) = 38,59 mm

Réponse

d = 38,59 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 2 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 58 kN, R₂ = 38 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 104 kN·m, M_D = 87, M_E = 64, M_F = 35, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 104 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 15,53 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·6,5 = 39 kN, appliquée en x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·6,5·3,25

R_B = 126,8/5 = 25,35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 25,35 = 13,65 kN

Effort tranchant nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 13,65/6 = 2,275 m

Moment positif maximal

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 13,65²/(2·6) = 15,53 kN·m

Réponse

M_max = 15,53 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: r = 99,74 mm

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême. Le rayon de giration r = √(I/A) est la distance à laquelle toute l’aire donnerait le même I ; il sert au flambement des poteaux.

Aire nette et moment quadratique net

A = π(D² − d²)/4 = 7087 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,051 × 10⁷ mm⁴

Rayon de giration

r = √(I/A) = √(7,051 × 10⁷/7087) = 99,74 mm

Réponse

r = 99,74 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 129,9 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 3060 mm², y = 253 mm

âme: A = 2200 mm², y = 134 mm

semelle inférieure: A = 6000 mm², y = 12 mm

Centre de gravité

ȳ = (3060·253 + 2200·134 + 6000·12)/11260 = 101,3 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 170·18³/12 + 3060·151,7² = 7,047 × 10⁷ mm⁴

âme: 10·220³/12 + 2200·32,67² = 1,122 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 250·24³/12 + 6000·89,33² = 4,817 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,047 × 10⁷ + 1,122 × 10⁷ + 4,817 × 10⁷

I_x = 1,299 × 10⁸ mm⁴ = 129,9 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 129,9 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 106,9 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((140 − −70)/2)² + −20²) = 106,9 MPa

Réponse

τ_max = 106,9 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 15 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 25 + −95·0 + −10·1 = 15 MPa

Réponse

σ_θ = 15 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 26,74 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 26,74 mm

Réponse

δ_max = 26,74 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 15,53 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 22000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Flèche maximale

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 15,53 mm

Réponse

δ_max = 15,53 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 23,03 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1000² = 23029 N = 23,03 kN

Réponse

P_cr = 23,03 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 81,3 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 81,3 mm

Réponse

d = 81,3 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 206,6, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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