Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 300 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en cuivre (diamètre 50 mm, longueur 400 mm, E = 120 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,4 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 70 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 100 kW à 500 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

10 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 20 kN à 3 mw = 12 kN/m de 0 à 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une poutre en fonte a la section en T représentée, semelle en haut. Les contraintes admissibles sont de 60 MPa en traction et 90 MPa en compression. Trouvez le plus grand moment fléchissant positif M_allow que la poutre peut supporter.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −30 MPa, σᵧ = 70 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 45° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = −60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 2 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 19 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 5 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 138,3 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1,698 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,4/2,891 × 10⁻⁶ = 138345 N = 138,3 kN

Réponse

P = 138,3 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 618,9 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 72,76 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 618,9 MPa

Réponse

σ_max = 618,9 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 18,47 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(39000·79522) = 0,3224 rad

φ = 0,3224·180/π = 18,47°

Réponse

φ = 18,47°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 83 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·25/575243 = 83 MPa

Réponse

τ_max = 83 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 6 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 95 kN, R₂ = 95 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 160, M_C = 260, M_D = 300 kN·m, M_E = 260, M_F = 160, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 300 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 33 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·3 + 12·4·2

R_B = 156/4 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 39 = 29 kN

Couper en x = 3 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 29·3 − 12·3·1,5 = 33 kN·m

Réponse

M_x = 33 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 27,76 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

âme: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·205 + 3200·100)/6200 = 150,8 mm

Théorème de Huygens

semelle: 300·10³/12 + 3000·(205 − 150,8)² = 8,836 × 10⁶ mm⁴

âme: 16·200³/12 + 3200·(100 − 150,8)² = 1,893 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,836 × 10⁶ + 1,893 × 10⁷ = 2,776 × 10⁷ mm⁴ = 27,76 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 27,76 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: M_allow = 4,626 kN·m

Centre de gravité

ȳ = (1400·145 + 1960·70)/3360 = 101,3 mm

bord supérieur: c = 150 − 101,3 = 48,75 mm

Moment quadratique

I = 140·10³/12 + 1400·43,75² + 14·140³/12 + 1960·31,25² = 7,807 × 10⁶ mm⁴

Moment admis par chaque bord

Moment positif : le haut est comprimé, le bas tendu.

bord supérieur: M = 90·7,807 × 10⁶/48,75 = 14,41 kN·m

bord inférieur: M = 60·7,807 × 10⁶/101,3 = 4,626 kN·m

Valeur déterminante

M_allow = min = 4,626 kN·m (bord inférieur)

Réponse

M_allow = 4,626 kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = 29,52 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = 30/58,31 = 0,5145, sin 2θ_s = −(−50)/58,31 = 0,8575

2θ_s = atan2(50, 30) = 59,04°

Angle sur l’élément

θ_s = 29,52°

vérification: θ_s − θ_p = 29,52 − 74,52 = −45°

Réponse

θ_s = 29,52°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 75 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 25 + −85·0 + 50·1 = 75 MPa

Réponse

σ_θ = 75 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_B = 55,07 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 31,47 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0236 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 55,07 mm

Réponse

δ_B = 55,07 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 22,5 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22,5 kN

Réponse

R_B = 22,5 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 14,1 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/2100² = 14099 N = 14,1 kN

Réponse

P_cr = 14,1 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 35,25 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/15 = 140

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Réponse

σ_cr = 35,25 MPa

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