Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en laiton sous l’effort axial.

P = 100 kNd = 10 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 85 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 30 mm est encastré dans des murs rigides à ses deux extrémités A et B. Un couple de 1000 N·m est appliqué en C, à 1,5 m de A et 2,5 m de B. Trouvez le couple de réaction T_A au mur A.

d = 30 mmT₀ = 1000 N·ma = 1,5 mb = 2,5 m

T_A = N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez l’effort tranchant V_x dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mw = 4 kN/m de 0 à 4 mx = 2,5 m

V_x = kN

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mP = 15 kN à 5 mw = 10 kN/m de 0 à 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 110 × 10 mm, une âme de 360 mm de haut et 10 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 290 × 22 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 110 × 10 mmâme: 10 × 360 mmsemelle inférieure: 290 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Le matériau a une limite d’élasticité de 350 MPa. Trouvez le coefficient de sécurité n vis-à-vis de la plastification selon le critère de von Mises (énergie de distorsion).

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 12 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 100 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/300. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 100 mm

h_req = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 60 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 60 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 38,2 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1273/100000 = 0,01273 = 12732 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,01273·3000 mm = 38,2 mm

Réponse

δ = 38,2 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 270,6 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 270,6 MPa

Réponse

σ_max = 270,6 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 2,923 °

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·251327) = 0,05101 rad

φ = 0,05101·180/π = 2,923°

Réponse

φ = 2,923°

4.Torsion des arbres

Réponse: T_A = 625 N·m

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω. Quand les deux extrémités sont encastrées, la statique seule ne donne que T_A + T_B = T₀ ; la deuxième équation est la compatibilité (même rotation des deux parties à la section chargée).

Équilibre et compatibilité

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·2,5/4 = 625 N·m

T_B = 1000·1,5/4 = 375 N·m

Réponse

T_A = 625 N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: V_x = −2 kN

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

V = R_A − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)

V_x = 8 − 4·2,5 = −2 kN

Réponse

V_x = −2 kN

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 162,5 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·5 + 10·10·5

R_B = 575/10 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 57,5 = 57,5 kN

Couper en x = 5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 57,5·5 − 10·5·2,5 = 162,5 kN·m

Réponse

M_x = 162,5 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 6,797 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

âme: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·150 + 1120·70)/3520 = 124,5 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·20³/12 + 2400·(150 − 124,5)² = 1,635 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·140³/12 + 1120·(70 − 124,5)² = 5,162 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,635 × 10⁶ + 5,162 × 10⁶ = 6,797 × 10⁶ mm⁴ = 6,797 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 6,797 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 216,5 × 10⁶ mm⁴

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 1100 mm², y = 387 mm

âme: A = 3600 mm², y = 202 mm

semelle inférieure: A = 6380 mm², y = 11 mm

Centre de gravité

ȳ = (1100·387 + 3600·202 + 6380·11)/11080 = 110,4 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 110·10³/12 + 1100·276,6² = 8,418 × 10⁷ mm⁴

âme: 10·360³/12 + 3600·91,61² = 6,91 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 290·22³/12 + 6380·99,39² = 6,328 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,418 × 10⁷ + 6,91 × 10⁷ + 6,328 × 10⁷

I_x = 2,165 × 10⁸ mm⁴ = 216,5 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 216,5 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = −22,5 °

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = 20/28,28 = 0,7071, sin 2θ_s = −20/28,28 = −0,7071

2θ_s = atan2(−20, 20) = −45°

Angle sur l’élément

θ_s = −22,5°

vérification: θ_s − θ_p = −22,5 − 22,5 = −45°

Réponse

θ_s = −22,5°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: n = 3,689

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 15 MPa, R = 54,08 MPa

σ₁ = 69,08 MPa, σ₂ = −39,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(69,08² − 69,08·(−39,08) + (−39,08)²) = 94,87 MPa

n = 350/94,87 = 3,689

Réponse

n = 3,689

n > 1 signifie que le point ne se plastifie pas ; Tresca est un peu plus conservatif que von Mises.

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 57,42 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 12000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 12000·2000³/(3·6,27 × 10¹¹) = 51,04 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 6,38 mm

Les additionner

δ = 51,04 + 6,38 = 57,42 mm

Réponse

δ = 57,42 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 176 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·13,33) = 4,545 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·4,545 × 10⁷/100)^1/3 = 176 mm

Réponse

h_req = 176 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 16,32 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2100² = 16319 N = 16,32 kN

Réponse

P_cr = 16,32 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 66,72 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 66,72 mm

Réponse

d = 66,72 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 239,8, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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