Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 20 mm, longueur 400 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en bronze (diamètre 30 mm, longueur 400 mm, E = 110 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,25 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatronçon 2: bronze, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 30 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier de 0,8 m de long transmet un couple de 500 N·m. L’angle de torsion entre ses extrémités ne doit pas dépasser 2°. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte cette limite.

T = 500 N·mL = 0,8 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 5 kW à 1000 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 5 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 4 kN/m de 0 à 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

10 kN @ 0 m15 kN @ 12 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 30 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 90 MPa, σᵧ = 70 MPa et τₓᵧ = −40 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Le matériau a une limite d’élasticité de 250 MPa. Trouvez le coefficient de sécurité n vis-à-vis de la plastification selon le critère de von Mises (énergie de distorsion).

σ_x = 150 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 3,5 m de A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 3 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 6 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 21,72 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706,9) = 5,144 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,25/1,151 × 10⁻⁵ = 21719 N = 21,72 kN

Réponse

P = 21,72 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 149,2 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 149,2 MPa

Réponse

σ_max = 149,2 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: d = 34,75 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire requis

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·800/(80000·0,03491) = 143239 mm⁴

Diamètre

d = (32J/π)^1/4 = 34,75 mm

Réponse

d = 34,75 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 14,8 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·75)) = 14,8 mm

Réponse

d = 14,8 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 16 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Couper en x = 2 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 12·2 − 4·2·1 = 16 kN·m

Réponse

M_x = 16 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −6,667, M_D = −33,33, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = −60 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 3,96 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

âme: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·110 + 1200·50)/3600 = 90 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·20³/12 + 2400·(110 − 90)² = 1,04 × 10⁶ mm⁴

âme: 12·100³/12 + 1200·(50 − 90)² = 2,92 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,04 × 10⁶ + 2,92 × 10⁶ = 3,96 × 10⁶ mm⁴ = 3,96 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 3,96 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 95,77 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

âme: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·235 + 4400·110)/9800 = 178,9 mm

Théorème de Huygens

semelle: 180·30³/12 + 5400·(235 − 178,9)² = 1,741 × 10⁷ mm⁴

âme: 20·220³/12 + 4400·(110 − 178,9)² = 3,862 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,741 × 10⁷ + 3,862 × 10⁷ = 5,603 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 178,9 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·178,9/5,603 × 10⁷ = 95,77 MPa

Réponse

σ_bas = 95,77 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = −37,98 °

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 90 − 70) = −75,96°

Angle sur l’élément

θ_p = −37,98°

Réponse

θ_p = −37,98°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: n = 1,133

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 40 MPa, R = 125,3 MPa

σ₁ = 165,3 MPa, σ₂ = −85,3 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(165,3² − 165,3·(−85,3) + (−85,3)²) = 220,7 MPa

n = 250/220,7 = 1,133

Réponse

n = 1,133

n > 1 signifie que le point ne se plastifie pas ; Tresca est un peu plus conservatif que von Mises.

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 26,63 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, a = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa³/(3EI) = 3000·3500³/(3·1,61 × 10¹²) = 26,63 mm

Réponse

δ_P = 26,63 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 22,5 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22,5 kN

Réponse

R_B = 22,5 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 6,229 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6,229 kN

Réponse

P_cr = 6,229 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 17,27 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Réponse

σ_cr = 17,27 MPa

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