Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 400 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en cuivre (diamètre 50 mm, longueur 500 mm, E = 120 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,3 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 25 mm, longueur 300 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en cuivre (diamètre 50 mm, longueur 300 mm, E = 120 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 60 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux en laiton (diamètre extérieur 75 mm, diamètre intérieur 56 mm, longueur 2,5 m) est encastré à une extrémité et soumis à un couple de 2000 N·m à l’autre. Trouvez l’angle de torsion φ en degrés.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 15 kW à 1450 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 0,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 5 kN/m de 0 à 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 50 kN à 3,5 mw = 10 kN/m de 0 à 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 200 mm × 240 mm a un trou circulaire de diamètre 30 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 84 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 200 mmh = 240 mmd = 30 mmcentre du trou: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 140 mm de large et 16 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 400 mm et une âme de 8 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 20 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion maximale σ_max dans la section.

B = 140 mmH = 400 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mmM = 20 kN·m

σ_max = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −30 MPa, σᵧ = 80 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 120 MPa, σᵧ = 70 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 25° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 120 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 15 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 2 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δ_max de la poutre.

P = 11 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 60,59 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,3/4,951 × 10⁻⁶ = 60588 N = 60,59 kN

Réponse

P = 60,59 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 21,57 MPa

Rigidités

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 60000·785398/1,113 × 10⁶ = 42353 N

Contrainte

σ₂ = 42353/1963 = 21,57 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 21,57 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 3,431 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Angle de torsion

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·2500/(39000·2,141 × 10⁶) = 0,05989 rad

φ = 0,05989·180/π = 3,431°

Réponse

φ = 3,431°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 21,59 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·50)) = 21,59 mm

Réponse

d = 21,59 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 5,625 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Couper en x = 0,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 12,5·0,5 − 5·0,5·0,25 = 5,625 kN·m

Réponse

M_x = 5,625 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 116,7 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·3,5 + 10·6·3

R_B = 355/6 = 59,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 59,17 = 50,83 kN

Couper en x = 3,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 50,83·3,5 − 10·3,5·1,75 = 116,7 kN·m

Réponse

M_x = 116,7 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (48000·120 − 706,9·84)/(48000 − 706,9) = 120,5 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

200·240³/12 + 48000·−0,5381² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−36,54² = 0,9834 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_max = 20,15 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 400 − 2·16 = 368 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·400³ − 132·368³)/12

I_x = 1,985 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 200 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·200/1,985 × 10⁸ = 20,15 MPa

Réponse

σ_max = 20,15 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 68,86 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, −30 − 80) = 137,7°

Angle sur l’élément

θ_p = 68,86°

Réponse

θ_p = 68,86°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 72,77 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 95 + 25·0,6428 + −50·0,766 = 72,77 MPa

Réponse

σ_θ = 72,77 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 45,81 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 15000·1500³/(3·3,96 × 10¹¹) = 42,61 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 3,196 mm

Les additionner

δ = 42,61 + 3,196 = 45,81 mm

Réponse

δ = 45,81 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 3,802 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 11000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

Flèche maximale

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,802 mm

Réponse

δ_max = 3,802 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 7,197 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2500 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2500² = 7197 N = 7,197 kN

Réponse

P_cr = 7,197 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 137,1 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Réponse

σ_cr = 137,1 MPa

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