Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 115 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en laiton (diamètre 40 mm, longueur 400 mm, E = 100 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 80 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: laiton, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux doit transmettre 75 kW à 3000 tr/min. Son diamètre intérieur doit valoir 0,75 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 80 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

35 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 35 kN à 1 mw = 5 kN/m de 0 à 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 220 mm de large avec deux ailes verticales de 90 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 20 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 220 mmh = 90 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 15 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −40 MPa, σᵧ = 30 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa et τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Le matériau a une limite d’élasticité de 420 MPa. Trouvez le coefficient de sécurité n vis-à-vis de la plastification selon le critère de Tresca (cisaillement maximal).

σ_x = 150 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1 m de l’appui B. Trouvez la flèche δ_mid à mi-portée.

P = 15 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 85 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 85 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,4067 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/706,9 = 162,7 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 162,7/200000 = 0,0008135 = 813,5 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,0008135·500 mm = 0,4067 mm

Réponse

δ = 0,4067 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 24,49 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 80000·314159/816814 = 30769 N

Contrainte

σ₂ = 30769/1257 = 24,49 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 24,49 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 3,065 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(39000·38350) = 0,05349 rad

φ = 0,05349·180/π = 3,065°

Réponse

φ = 3,065°

4.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 28,12 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 238,7 N·m = 238732 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·238732/(π·80·0,6836)) = 28,12 mm

d_i = 0,75·28,12 = 21,09 mm

Réponse

d_o = 28,12 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 24,77 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 41,67 kN, R₂ = 53,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 36,67, M_C = 63,33, M_D = 80, M_E = 86,67 kN·m, M_F = 48,33, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = 86,67 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 27,5 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 5·4·2

R_B = 75/4 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 18,75 = 36,25 kN

Couper en x = 2 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 36,25·2 − 35·(2 − 1) − 5·2·1 = 27,5 kN·m

Réponse

M_x = 27,5 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 4,755 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 220·20 = 4400 mm², y₁ = 10 mm

deux ailes: A₂ = 2·20·70 = 2800 mm², y₂ = 20 + 70/2 = 55 mm

Centre de gravité

ȳ = (4400·10 + 2800·55)/7200 = 27,5 mm

Théorème de Huygens

excipient: 220·20³/12 + 4400·(10 − 27,5)² = 1,494 × 10⁶ mm⁴

deux ailes: 2·20·70³/12 + 2800·(55 − 27,5)² = 3,261 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,494 × 10⁶ + 3,261 × 10⁶

I_x = 4,755 × 10⁶ mm⁴ = 4,755 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 4,755 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 80,4 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

âme: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·107,5 + 2000·50)/5000 = 84,5 mm

Théorème de Huygens

semelle: 200·15³/12 + 3000·(107,5 − 84,5)² = 1,643 × 10⁶ mm⁴

âme: 20·100³/12 + 2000·(50 − 84,5)² = 4,047 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,643 × 10⁶ + 4,047 × 10⁶ = 5,69 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 115 − 84,5 = 30,5 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·30,5/5,69 × 10⁶ = 80,4 MPa

Réponse

σ_haut = 80,4 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 36,4 MPa

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−40 − 30)/2)² + 10²) = 36,4 MPa

Réponse

τ_max = 36,4 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: n = 2,471

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 75 MPa, R = 85 MPa

σ₁ = 160 MPa, σ₂ = −10 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 170 MPa

n = 420/170 = 2,471

Réponse

n = 2,471

n > 1 signifie que le point ne se plastifie pas ; Tresca est un peu plus conservatif que von Mises.

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 2,109 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 2,109 mm

Réponse

δ = 2,109 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_mid = 10,42 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Flèche à mi-portée

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 15000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·1,32 × 10¹²) = 10,42 mm

Réponse

δ_mid = 10,42 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 38,59 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·6000 = 6000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Réponse

P_cr = 38,59 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 80,55 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 80,55 mm

Réponse

d = 80,55 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 198,6, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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