Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 25 mm, longueur 400 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en cuivre (diamètre 50 mm, longueur 200 mm, E = 120 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,25 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 35 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 20 mm est soumise à un couple de 100 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 200 mm tournent de 0,91° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 100 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 0,91°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en acier de diamètre 50 mm est encastré en A. Un couple de 250 N·m agit en B, à 1,2 m de A, et un couple de 200 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 2,5 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 50 mmT_B = 250 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,2 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 6 m10 kN @ 1 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 170 × 14 mm, une âme de 280 mm de haut et 10 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 300 × 20 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 170 × 14 mmâme: 10 × 280 mmsemelle inférieure: 300 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = 60 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 35° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 100 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 35° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 9 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 125 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 125 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 50,78 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8,488 × 10⁻⁷ mm/N

Charge

P = 0,25/4,923 × 10⁻⁶ = 50780 N = 50,78 kN

Réponse

P = 50,78 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 309,5 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 309,5 MPa

Réponse

σ_max = 309,5 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 80,17 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,91·π/180 = 0,01588 rad

Module de cisaillement

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(15708·0,01588) = 80166 MPa

G = 80,17 GPa

Réponse

G = 80,17 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 8,149 MPa

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 250 = −50 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·50³) = 8,149 MPa

Réponse

τ_max = 8,149 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 6 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 87,5 kN, R₂ = 87,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 155, M_C = 270, M_D = 345 kN·m, M_E = 270, M_F = 155, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 345 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 4 kN, R₂ = 109 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −2, M_C = −26, M_D = −62, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = −110 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 68,08 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

âme: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·272,5 + 5200·130)/8200 = 182,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·25³/12 + 3000·(272,5 − 182,1)² = 2,465 × 10⁷ mm⁴

âme: 20·260³/12 + 5200·(130 − 182,1)² = 4,343 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,465 × 10⁷ + 4,343 × 10⁷ = 6,808 × 10⁷ mm⁴ = 68,08 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 68,08 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 177,9 × 10⁶ mm⁴

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 2380 mm², y = 307 mm

âme: A = 2800 mm², y = 160 mm

semelle inférieure: A = 6000 mm², y = 10 mm

Centre de gravité

ȳ = (2380·307 + 2800·160 + 6000·10)/11180 = 110,8 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 170·14³/12 + 2380·196,2² = 9,166 × 10⁷ mm⁴

âme: 10·280³/12 + 2800·49,21² = 2,507 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 300·20³/12 + 6000·100,8² = 6,115 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,166 × 10⁷ + 2,507 × 10⁷ + 6,115 × 10⁷

I_x = 1,779 × 10⁸ mm⁴ = 177,9 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 177,9 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −36,9 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = 40 − 60·0,342 − 60·0,9397 = −36,9 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 116,9 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −36,9 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −49,45 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = −5 + −75·0,342 + −20·0,9397 = −49,45 MPa

Réponse

σ_θ = −49,45 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 7,75 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 7,75 mm

Réponse

δ_max = 7,75 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 2,074 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 9000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·2000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 1,623 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 0,4509 mm

Les additionner

δ_max = 1,623 + 0,4509 = 2,074 mm

Réponse

δ_max = 2,074 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 467,9 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·1500 = 1500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1500² = 467892 N = 467,9 kN

Réponse

P_cr = 467,9 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 87,11 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·125000 = 312500 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 87,11 mm

Réponse

d = 87,11 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 114,8, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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