Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en acier, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 90 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 15 mm est soumise à un couple de 30 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 200 mm tournent de 1,77° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 30 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 1,77°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 30 kW à 500 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mw = 2 kN/m de 0 à 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 7 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mP = 30 kN à 7 mw = 4 kN/m de 0 à 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 200 mm × 150 mm a une découpe rectangulaire de 80 mm de large et 50 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 45 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 200 mmh = 150 mmdécoupe: 80 × 50 mmcentre du trou: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 40 MPa, σᵧ = 0 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Trouvez la contrainte équivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = −80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 20 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acier)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 95 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 95 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 5305 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/113,1 = 1061 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1061/200000 = 0,005305 = 5305 µε

Réponse

ε = 5305 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 447,6 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 447,6 MPa

Réponse

σ_max = 447,6 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 39,08 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1,77·π/180 = 0,03089 rad

Module de cisaillement

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·200/(4970·0,03089) = 39078 MPa

G = 39,08 GPa

Réponse

G = 39,08 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 11,72 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·37,5/1,834 × 10⁶ = 11,72 MPa

Réponse

τ_max = 11,72 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 15 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Couper en x = 3 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 8·3 − 2·3·1,5 = 15 kN·m

Réponse

M_x = 15 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 40,25 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·7 + 4·8·4

R_B = 338/8 = 42,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 42,25 = 19,75 kN

Couper en x = 7 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 19,75·7 − 4·7·3,5 = 40,25 kN·m

Réponse

M_x = 40,25 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 7,947 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

âme: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·155 + 1120·70)/4120 = 131,9 mm

Théorème de Huygens

semelle: 100·30³/12 + 3000·(155 − 131,9)² = 1,827 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·140³/12 + 1120·(70 − 131,9)² = 6,12 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,827 × 10⁶ + 6,12 × 10⁶ = 7,947 × 10⁶ mm⁴ = 7,947 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 7,947 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 51,26 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (30000·75 − 4000·45)/(30000 − 4000) = 79,62 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

200·150³/12 + 30000·−4,615² = 56,89 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

80·50³/12 + 4000·−34,62² = 5,626 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 51,26 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 51,26 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 28,28 MPa

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((40 − 0)/2)² + −20²) = 28,28 MPa

Réponse

τ_max = 28,28 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_vM = 80 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = −50 MPa, R = 36,06 MPa

σ₁ = −13,94 MPa, σ₂ = −86,06 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−13,94)² − (−13,94)·(−86,06) + (−86,06)²) = 80 MPa

Réponse

σ_vM = 80 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 1,71 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 1,71 mm

Réponse

δ_max = 1,71 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 1,087 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·2000³/(48·4,6 × 10¹²) = 0,7246 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 0,3623 mm

Les additionner

δ_max = 0,7246 + 0,3623 = 1,087 mm

Réponse

δ_max = 1,087 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 6,867 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·4000 = 8000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/8000² = 6867 N = 6,867 kN

Réponse

P_cr = 6,867 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 57,57 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 57,57 mm

Réponse

d = 57,57 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 97,28, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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