Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 25 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1,5 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1 m, acier (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux doit transmettre un couple de 2000 N·m. Son diamètre intérieur doit valoir 0,5 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 75 kW à 500 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La console est encastrée en A. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à 5 m de A. Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4,5 m à partir de l’encastrement A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mP = 70 kN à 5 mw = 6 kN/m de 0 à 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez la distance x₀ entre A et la section où le moment fléchissant est maximal.

L = 6 mw = 16 kN/m de 3 à 5 m

x₀ = m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 100 mm × 240 mm a un trou circulaire de diamètre 30 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 144 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmcentre du trou: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 30 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmM = 30 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 60 mm supporte un effort de traction axial de 50 kN ainsi qu’un couple de 500 N·m. À la surface de l’arbre, trouvez la plus grande contrainte principale σ₁.

d = 60 mmF = 50 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1 m de A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 3 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte deux charges ponctuelles égales P aux tiers de la portée (à L/3 de chaque appui). Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 14 kNL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 5684 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/201,1 = 397,9 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/70000 = 0,005684 = 5684 µε

Réponse

ε = 5684 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 221 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 221 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 221 MPa

Réponse

σ_max = 221 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 52,52 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·75·0,9375)) = 52,52 mm

d_i = 0,5·52,52 = 26,26 mm

Réponse

d_o = 52,52 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 51,4 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 45,99 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75)) = 45,99 mm

Réponse

d = 45,99 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −35,75 kN·m

Garder la partie côté extrémité libre

P: −70·0,5 = −35 kN·m

w: −6·0,5²/2 = −0,75 kN·m

M_x = −35 − 0,75 = −35,75 kN·m

Réponse

M_x = −35,75 kN·m

Négatif signifie flexion négative : la face supérieure est tendue.

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x₀ = 3,667 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 16·2·4

R_B = 128/6 = 21,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 21,33 = 10,67 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 10,67/16 = 3,667 m

Réponse

x₀ = 3,667 m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 114,7 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (24000·120 − 706,9·144)/(24000 − 706,9) = 119,3 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

100·240³/12 + 24000·0,7283² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·24,73² = 0,472 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 114,7 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 114,7 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 105 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

âme: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·172,5 + 2880·80)/5380 = 123 mm

Théorème de Huygens

semelle: 100·25³/12 + 2500·(172,5 − 123)² = 6,26 × 10⁶ mm⁴

âme: 18·160³/12 + 2880·(80 − 123)² = 1,146 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,26 × 10⁶ + 1,146 × 10⁷ = 1,772 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 185 − 123 = 62,02 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·62,02/1,772 × 10⁷ = 105 MPa

Réponse

σ_haut = 105 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 46,1 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((100 − 10)/2)² + 10²) = 46,1 MPa

Réponse

τ_max = 46,1 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ₁ = 23,58 MPa

Contraintes à la surface

σ = F/A = 50000/(π·60²/4) = 50000/2827 = 17,68 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = 8,842 MPa

R = √(8,842² + 11,79²) = 14,74 MPa

σ₁ = C + R = 23,58 MPa

σ₂ = C − R = −5,895 MPa

Réponse

σ₁ = 23,58 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 1,681 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa³/(3EI) = 3000·1000³/(3·5,95 × 10¹¹) = 1,681 mm

Réponse

δ_P = 1,681 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 7,395 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 14000 N, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Une charge à L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 3,697 mm

Additionner les deux charges

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 7,395 mm

Réponse

δ_max = 7,395 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 2,412 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·6000 = 6000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2,412 kN

Réponse

P_cr = 2,412 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 11,05 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Réponse

σ_cr = 11,05 MPa

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