Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en aluminium (diamètre 40 mm, longueur 500 mm, E = 70 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,3 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en cuivre (diamètre 40 mm, longueur 500 mm, E = 120 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 30 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 20 mm est soumise à un couple de 30 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 400 mm tournent de 1,12° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 30 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1,12°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 20 kW à 3000 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 20 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

25 kN @ 5 m60 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 25 kN à 4 mw = 12 kN/m de 0 à 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 110 × 12 mm, une âme de 170 mm de haut et 16 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 200 × 14 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 110 × 12 mmâme: 16 × 170 mmsemelle inférieure: 200 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −10 MPa, σᵧ = 110 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 10 MPa, σᵧ = −60 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 50° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 2 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 21 kNa = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 150 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/300. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 2,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 150 mm

h_req = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acier)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 20 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 20 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 39,1 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,3/7,674 × 10⁻⁶ = 39095 N = 39,1 kN

Réponse

P = 39,1 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 12,32 MPa

Rigidités

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 30000·301593/584336 = 15484 N

Contrainte

σ₂ = 15484/1257 = 12,32 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 12,32 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 39,08 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,12·π/180 = 0,01955 rad

Module de cisaillement

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·400/(15708·0,01955) = 39081 MPa

G = 39,08 GPa

Réponse

G = 39,08 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 18,65 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 20000/314,2 = 63,66 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·50)) = 18,65 mm

Réponse

d = 18,65 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: B (x = 1 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 54,17 kN, R₂ = 30,83 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 54,17 kN·m, M_C = 48,33, M_D = 42,5, M_E = 36,67, M_F = 30,83, M_G = 0

Réponse

Repère B: M_B = 54,17 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 81,33 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·4 + 12·6·3

R_B = 316/6 = 52,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 97 − 52,67 = 44,33 kN

Couper en x = 4 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 44,33·4 − 12·4·2 = 81,33 kN·m

Réponse

M_x = 81,33 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 14,48 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

âme: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·185 + 1800·90)/4400 = 146,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 260·10³/12 + 2600·(185 − 146,1)² = 3,949 × 10⁶ mm⁴

âme: 10·180³/12 + 1800·(90 − 146,1)² = 1,053 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,949 × 10⁶ + 1,053 × 10⁷ = 1,448 × 10⁷ mm⁴ = 14,48 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 14,48 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 38,48 × 10⁶ mm⁴

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 1320 mm², y = 190 mm

âme: A = 2720 mm², y = 99 mm

semelle inférieure: A = 2800 mm², y = 7 mm

Centre de gravité

ȳ = (1320·190 + 2720·99 + 2800·7)/6840 = 78,9 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 110·12³/12 + 1320·111,1² = 1,631 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·170³/12 + 2720·20,1² = 7,65 × 10⁶ mm⁴

semelle inférieure: 200·14³/12 + 2800·71,9² = 1,452 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,631 × 10⁷ + 7,65 × 10⁶ + 1,452 × 10⁷

I_x = 3,848 × 10⁷ mm⁴ = 38,48 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 38,48 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 63,25 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−10 − 110)/2)² + 20²) = 63,25 MPa

Réponse

τ_max = 63,25 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = −39,68 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −35·0,9848 + 30·−0,1736 = −39,68 MPa

Réponse

τ_θ = −39,68 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 12,63 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 21000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 21000·2000²·3000²/(3·3,99 × 10¹²·5000) = 12,63 mm

Réponse

δ_P = 12,63 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 165,7 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4000⁴/(384·11000·13,33) = 5,682 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·5,682 × 10⁷/150)^1/3 = 165,7 mm

Réponse

h_req = 165,7 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 228,5 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/3000² = 228463 N = 228,5 kN

Réponse

P_cr = 228,5 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 67,54 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 67,54 mm

Réponse

d = 67,54 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 248,7, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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