Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 400 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en cuivre (diamètre 60 mm, longueur 200 mm, E = 120 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,25 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 45 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 0,5 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux doit transmettre un couple de 400 N·m. Son diamètre intérieur doit valoir 0,6 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 40 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 50 kW à 1800 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mw = 12 kN/m de 0 à 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 7 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mP = 50 kN à 7 mw = 5 kN/m de 0 à 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 230 mm de large et 20 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 440 mm et une âme de 8 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 60 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 230 mmH = 440 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 150 MPa, σᵧ = 120 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 45° dans le sens horaire. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 150 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 500 mm et d’épaisseur de paroi 12 mm, contient un gaz à une pression relative de 1,2 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 40° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de cisaillement |τ_n| qui agit le long du cordon de soudure.

D = 500 mmt = 12 mmp = 1,2 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 2,5 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 29 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (bois de structure)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 114,6 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·2827) = 5,895 × 10⁻⁷ mm/N

Charge

P = 0,25/2,181 × 10⁻⁶ = 114626 N = 114,6 kN

Réponse

P = 114,6 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,8165 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,67·500/100000 = 0,4584 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·500/200000 = 0,3581 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8165 mm

Réponse

δ = 0,8165 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 38,82 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0,8704)) = 38,82 mm

d_i = 0,6·38,82 = 23,29 mm

Réponse

d_o = 38,82 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 37,07 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 3,472 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·40/3,056 × 10⁶ = 3,472 MPa

Réponse

τ_max = 3,472 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 24 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Couper en x = 2 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 24·2 − 12·2·1 = 24 kN·m

Réponse

M_x = 24 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 61,25 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·7 + 5·8·4

R_B = 510/8 = 63,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 63,75 = 26,25 kN

Couper en x = 7 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 26,25·7 − 5·7·3,5 = 61,25 kN·m

Réponse

M_x = 61,25 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 43,17 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

âme: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·227,5 + 3960·110)/7860 = 168,3 mm

Théorème de Huygens

semelle: 260·15³/12 + 3900·(227,5 − 168,3)² = 1,374 × 10⁷ mm⁴

âme: 18·220³/12 + 3960·(110 − 168,3)² = 2,943 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,374 × 10⁷ + 2,943 × 10⁷ = 4,317 × 10⁷ mm⁴ = 43,17 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 43,17 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 26,74 MPa

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 440 − 2·20 = 400 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·440³ − 222·400³)/12

I_x = 4,487 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 220 − 20 = 200 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·200/4,487 × 10⁸ = 26,74 MPa

Réponse

σ_j = 26,74 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = 185 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = 135 − 15·0 − 50·(−1) = 185 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 85 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 270 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = 185 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: |τ_n| = 6,155 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1,2·250/12 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

|τ_n| = (25 − 12,5)·sin 40°·cos 40° = 6,155 MPa

Réponse

|τ_n| = 6,155 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_B = 8,181 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 29000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 6,293 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003776 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8,181 mm

Réponse

δ_B = 8,181 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,381 × 10⁸ mm⁴

I_req = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 138,1 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 14,02 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14,02 kN

Réponse

P_cr = 14,02 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 8,812 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Réponse

σ_cr = 8,812 MPa

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