Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 300 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en bronze (diamètre 50 mm, longueur 400 mm, E = 110 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,3 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatronçon 2: bronze, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 20 mm, longueur 600 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en bronze (diamètre 40 mm, longueur 500 mm, E = 110 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 30 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatronçon 2: bronze, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 40 mm est encastré en A. Un couple de 1500 N·m agit en B, à 1,5 m de A, et un couple de 250 N·m de même sens agit à l’extrémité libre C, 3 m plus loin. Trouvez la valeur absolue de l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

d = 40 mmT_B = 1500 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,5 mBC = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mw = 5 kN/m de 0 à 8 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mP = 15 kN à 3,5 mw = 5 kN/m de 0 à 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en I symétrique a des semelles de 160 mm de large et 16 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 200 mm et une âme de 8 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 160 mmH = 200 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 200 mm × 240 mm a une découpe rectangulaire de 30 mm de large et 20 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 144 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 200 mmh = 240 mmdécoupe: 30 × 20 mmcentre du trou: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 70 MPa, σᵧ = −10 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 1500 mm et d’épaisseur de paroi 15 mm, contient un gaz à une pression relative de 1,2 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 50° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la contrainte normale σ_n qui agit perpendiculairement au cordon de soudure.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 1,2 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acier)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 125 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/250. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 125 mm

h_req = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acier)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 98,5 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1,852 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,3/3,046 × 10⁻⁶ = 98501 N = 98,5 kN

Réponse

P = 98,5 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 17,31 MPa

Rigidités

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 30000·276460/381180 = 21758 N

Contrainte

σ₂ = 21758/1257 = 17,31 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 17,31 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 9,006 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·79522) = 0,1572 rad

φ = 0,1572·180/π = 9,006°

Réponse

φ = 9,006°

4.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 19,73 °

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 1500 = 1750 N·m

Torsion de chaque tronçon

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,75 × 10⁶·1500/(39000·251327) = 0,2678 rad

φ_BC = 250000·3000/(39000·251327) = 0,07652 rad

Torsion de l’extrémité C

φ_C = 0,2678 + 0,07652 = 0,3443 rad → |φ_C| = 19,73°

Réponse

φ_C = 19,73°

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 34,38 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 20·2,5 − 5·2,5·1,25 = 34,38 kN·m

Réponse

M_x = 34,38 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 28,88 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3,5 + 5·5·2,5

R_B = 115/5 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 23 = 17 kN

Couper en x = 3,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 17·3,5 − 5·3,5·1,75 = 28,88 kN·m

Réponse

M_x = 28,88 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 46,61 × 10⁶ mm⁴

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 200 − 2·16 = 168 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·200³ − 152·168³)/12

I_x = 4,661 × 10⁷ mm⁴ = 46,61 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 46,61 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 230 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (48000·120 − 600·144)/(48000 − 600) = 119,7 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

200·240³/12 + 48000·0,3038² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

30·20³/12 + 600·24,3² = 0,3744 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 230 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 230 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 41,23 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((70 − −10)/2)² + 10²) = 41,23 MPa

Réponse

τ_max = 41,23 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_n = 42,4 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,2·750/15 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

σ_n = 30·sin²50° + 60·cos²50° = 42,4 MPa

Réponse

σ_n = 42,4 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 28,07 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 28,07 mm

Réponse

δ_max = 28,07 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 173 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·18) = 5,393 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·5,393 × 10⁷/125)^1/3 = 173 mm

Réponse

h_req = 173 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 71,19 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4200² = 71188 N = 71,19 kN

Réponse

P_cr = 71,19 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 87,73 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Réponse

σ_cr = 87,73 MPa

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