Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 80 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en aluminium (diamètre 30 mm, longueur 500 mm, E = 70 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 50 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 20 mm est soumise à un couple de 100 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 400 mm tournent de 5,61° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 100 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 5,61°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 100 kW à 1000 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 80 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte un couple M₀ = 25 kN·m dans le sens horaire en x = 1,5 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant M_x juste à droite du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mM₀ = 25 kN·m dans le sens horaire, en 1,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

35 kN @ 6 m10 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 120 mm de large et 18 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 340 mm et une âme de 12 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 20 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 120 mmH = 340 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mmM = 20 kN·m

σ_j = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −70 MPa, σᵧ = −50 MPa et τₓᵧ = 60 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 80 MPa, σᵧ = −70 MPa et τₓᵧ = −40 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 45° dans le sens horaire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 2,5 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 8 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 6 kNw = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 60 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 60 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 3,183 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 80·1000/314,2 = 254,6 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/200000 = 0,001273 = 1273 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001273·2500 mm = 3,183 mm

Réponse

δ = 3,183 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 18,34 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 50000·98960/381704 = 12963 N

Contrainte

σ₂ = 12963/706,9 = 18,34 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 18,34 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 26,01 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 5,61·π/180 = 0,09791 rad

Module de cisaillement

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(15708·0,09791) = 26008 MPa

G = 26,01 GPa

Réponse

G = 26,01 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 10,91 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·40/3,5 × 10⁶ = 10,91 MPa

Réponse

τ_max = 10,91 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 15,63 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.

Réactions d’appui

Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : R_B·L − M₀ = 0. Équilibre vertical : R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/4 = 6,25 kN (vers le haut)

R_A = −R_B = −6,25 kN (vers le bas)

Coupure juste à droite du couple

La partie gauche contient maintenant R_A et le couple.

M_x = R_A·a + M₀ = −6,25·1,5 + 25 = 15,63 kN·m

Réponse

M_x = 15,63 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: F (x = 5 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 18 kN, R₂ = 67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 13, M_C = 16, M_D = 9, M_E = −8, M_F = −35 kN·m, M_G = 0

Réponse

Repère F: M_F = −35 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 42,66 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

âme: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·235 + 2640·110)/11040 = 205,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 280·30³/12 + 8400·(235 − 205,1)² = 8,135 × 10⁶ mm⁴

âme: 12·220³/12 + 2640·(110 − 205,1)² = 3,453 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,135 × 10⁶ + 3,453 × 10⁷ = 4,266 × 10⁷ mm⁴ = 42,66 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 42,66 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 21,68 MPa

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 340 − 2·18 = 304 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·340³ − 108·304³)/12

I_x = 1,402 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 170 − 18 = 152 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·152/1,402 × 10⁸ = 21,68 MPa

Réponse

σ_j = 21,68 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 60,83 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−70 − −50)/2)² + 60²) = 60,83 MPa

Réponse

τ_max = 60,83 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 75 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −75·−1 + −40·0 = 75 MPa

Réponse

τ_θ = 75 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_B = 13,46 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 8000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 7,086 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,004252 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 13,46 mm

Réponse

δ_B = 13,46 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 31,97 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 6000 N, w = 20 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·6000³/(48·1,14 × 10¹³) = 2,368 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 29,61 mm

Les additionner

δ_max = 2,368 + 29,61 = 31,97 mm

Réponse

δ_max = 31,97 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 12,21 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·3000 = 6000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12,21 kN

Réponse

P_cr = 12,21 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 72,57 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 72,57 mm

Réponse

d = 72,57 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 154,3, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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