Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en aluminium (diamètre 60 mm, longueur 500 mm, E = 70 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,5 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en laiton (diamètre 30 mm, longueur 300 mm, E = 100 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 80 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: laiton, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux doit transmettre un couple de 100 N·m. Son diamètre intérieur doit valoir 0,5 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 10 kW à 1000 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 10 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 2 kN/m de 0 à 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 12 m30 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Un tube circulaire a un diamètre extérieur D = 260 mm et un diamètre intérieur d = 228 mm. Trouvez son rayon de giration r par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

D = 260 mmd = 228 mm

r = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 5 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 45° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = −10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θ_A de la poutre à l’appui A, en radians.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte deux charges ponctuelles égales P aux tiers de la portée (à L/3 de chaque appui). Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 19 kNL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 5 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 5 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 82,47 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2,526 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,5/6,063 × 10⁻⁶ = 82467 N = 82,47 kN

Réponse

P = 82,47 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 51,44 MPa

Rigidités

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 80000·235619/518363 = 36364 N

Contrainte

σ₂ = 36364/706,9 = 51,44 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 51,44 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 22,15 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0,9375)) = 22,15 mm

d_i = 0,5·22,15 = 11,07 mm

Réponse

d_o = 22,15 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 21,68 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 5,12 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·25/466269 = 5,12 MPa

Réponse

τ_max = 5,12 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 2,25 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Couper en x = 4,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 5·4,5 − 2·4,5·2,25 = 2,25 kN·m

Réponse

M_x = 2,25 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: F (x = 10 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 1 kN, R₂ = 84 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 2, M_C = 4, M_D = 6, M_E = −52, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Réponse

Repère F: M_F = −110 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: r = 86,45 mm

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême. Le rayon de giration r = √(I/A) est la distance à laquelle toute l’aire donnerait le même I ; il sert au flambement des poteaux.

Aire nette et moment quadratique net

A = π(D² − d²)/4 = 12265 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 9,167 × 10⁷ mm⁴

Rayon de giration

r = √(I/A) = √(9,167 × 10⁷/12265) = 86,45 mm

Réponse

r = 86,45 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 12,72 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

âme: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·132,5 + 2160·60)/9160 = 115,4 mm

Théorème de Huygens

semelle: 280·25³/12 + 7000·(132,5 − 115,4)² = 2,411 × 10⁶ mm⁴

âme: 18·120³/12 + 2160·(60 − 115,4)² = 9,222 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,411 × 10⁶ + 9,222 × 10⁶ = 1,163 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 145 − 115,4 = 29,6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·29,6/1,163 × 10⁷ = 12,72 MPa

Réponse

σ_haut = 12,72 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 55,9 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((100 − 50)/2)² + 50²) = 55,9 MPa

Réponse

τ_max = 55,9 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 75 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 15 + −25·0 + −60·−1 = 75 MPa

Réponse

σ_θ = 75 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: θ_A = 0,04472 rad

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Rotation en bout

θ_A = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·1,61 × 10¹²) = 0,04472 rad

Réponse

θ_A = 0,04472 rad

Soit 2,562°.

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 24,77 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Une charge à L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 12,39 mm

Additionner les deux charges

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 24,77 mm

Réponse

δ_max = 24,77 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 158,8 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·5000 = 5000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

Réponse

P_cr = 158,8 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 29,99 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 29,99 mm

Réponse

d = 29,99 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 373,4, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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