Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en aluminium sous l’effort axial.

P = 105 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 10 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1,5 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 15 mm est soumise à un couple de 100 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 200 mm tournent de 5,91° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 100 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 5,91°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 20 kW à 1800 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 40 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

30 kN @ 2 m55 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

20 kN @ 0 m15 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 200 mm × 240 mm a une découpe rectangulaire de 40 mm de large et 20 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 72 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 200 mmh = 240 mmdécoupe: 40 × 20 mmcentre du trou: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 50 MPa et σᵧ = 50 MPa. Jusqu’à quelle valeur la contrainte de cisaillement τ_xy (en valeur absolue) peut-elle monter avant que la plus grande contrainte principale atteigne 110 MPa ?

σ_x = 50 MPaσ_y = 50 MPaσ₁ = 110 MPa

τ_xy = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 30 mm supporte un moment fléchissant de 1000 N·m ainsi qu’un couple de 250 N·m. À la surface supérieure, où la contrainte de flexion est une traction maximale, trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

d = 30 mmM = 1000 N·mT = 250 N·m

τ_max = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 75 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 75 mm

h_req = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 7,162 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/70000 = 0,004775 = 4775 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,004775·1500 mm = 7,162 mm

Réponse

δ = 7,162 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,8751 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7,958·1500/100000 = 0,1194 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·1000/117000 = 0,7557 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8751 mm

Réponse

δ = 0,8751 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 39,01 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5,91·π/180 = 0,1031 rad

Module de cisaillement

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(4970·0,1031) = 39012 MPa

G = 39,01 GPa

Réponse

G = 39,01 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 23,82 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·40)) = 23,82 mm

Réponse

d = 23,82 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 47,5 kN, R₂ = 37,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 47,5, M_C = 95, M_D = 112,5 kN·m, M_E = 75, M_F = 37,5, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 112,5 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 18,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −23,33, M_D = −26,67, M_E = −30 kN·m, M_F = −15, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = −30 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 76,51 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

âme: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·287,5 + 4480·140)/8680 = 211,4 mm

Théorème de Huygens

semelle: 280·15³/12 + 4200·(287,5 − 211,4)² = 2,442 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·280³/12 + 4480·(140 − 211,4)² = 5,209 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,442 × 10⁷ + 5,209 × 10⁷ = 7,651 × 10⁷ mm⁴ = 76,51 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 76,51 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 228,5 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (48000·120 − 800·72)/(48000 − 800) = 120,8 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

200·240³/12 + 48000·−0,8136² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

40·20³/12 + 800·−48,81² = 1,933 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 228,5 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 228,5 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_xy = 60 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon requis

C = (50 + 50)/2 = 50 MPa

R = σ₁ − C = 110 − 50 = 60 MPa

Contrainte de cisaillement

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 0²) = 60 MPa

Réponse

τ_xy = 60 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 194,4 MPa

Contraintes à la surface

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·30³) = 377,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = 188,6 MPa

R = √(188,6² + 47,16²) = 194,4 MPa

Réponse

τ_max = 194,4 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 1,674 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 1,674 mm

Réponse

δ_max = 1,674 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 206,2 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·9,722) = 5,481 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·5,481 × 10⁷/75)^1/3 = 206,2 mm

Réponse

h_req = 206,2 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 62,18 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·1000 = 1000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1000² = 62179 N = 62,18 kN

Réponse

P_cr = 62,18 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 111 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Réponse

σ_cr = 111 MPa

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