Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en laiton, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 40 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium de diamètre 50 mm est encastré en A. Un couple de 100 N·m agit en B, à 0,5 m de A, et un couple de 100 N·m de même sens agit à l’extrémité libre C, 1 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,5 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La console est encastrée en A. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à 2 m de A. Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 1,5 m à partir de l’encastrement A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 2 mP = 30 kN à 2 mw = 8 kN/m de 0 à 2 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 2 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez la distance x_c entre A et le point d’inflexion situé entre les appuis (là où le moment fléchissant change de signe).

L = 7 mw = 12 kN/m de 0 à 7 mappuis en x = 0 et x = 5 m

x_c = m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 260 mm de large avec deux ailes verticales de 200 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 14 mm. Trouvez la hauteur ȳ du centre de gravité au-dessus du bord inférieur.

b = 260 mmh = 200 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 110 × 22 mm, une âme de 310 mm de haut et 16 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 290 × 10 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 110 × 22 mmâme: 16 × 310 mmsemelle inférieure: 290 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa et τₓᵧ = −10 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 20° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 30 mm supporte un moment fléchissant de 1000 N·m ainsi qu’un couple de 500 N·m. À la surface supérieure, où la contrainte de flexion est une traction maximale, trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

d = 30 mmM = 1000 N·mT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 5 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 2 m de l’appui B. Trouvez la flèche δ_mid à mi-portée.

P = 20 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 3820 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 120·1000/314,2 = 382 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 382/100000 = 0,00382 = 3820 µε

Réponse

ε = 3820 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,75 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 81,49·500/200000 = 0,2037 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·2000/100000 = 2,546 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,75 mm

Réponse

δ = 2,75 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 22,45 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·15708) = 0,3918 rad

φ = 0,3918·180/π = 22,45°

Réponse

φ = 22,45°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 8,149 MPa

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 100 = 200 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·50³) = 8,149 MPa

Réponse

τ_max = 8,149 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −16 kN·m

Garder la partie côté extrémité libre

P: −30·0,5 = −15 kN·m

w: −8·0,5²/2 = −1 kN·m

M_x = −15 − 1 = −16 kN·m

Réponse

M_x = −16 kN·m

Négatif signifie flexion négative : la face supérieure est tendue.

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x_c = 4,2 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, appliquée en x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·7·3,5

R_B = 294/5 = 58,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 58,8 = 25,2 kN

Moment nul

Entre les appuis, M(x) = R_A·x − w·x²/2. En dehors de x = 0, il s’annule en x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·25,2/12 = 4,2 m

Réponse

x_c = 4,2 m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: ȳ = 65,86 mm

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 260·14 = 3640 mm², y₁ = 7 mm

deux ailes: A₂ = 2·14·186 = 5208 mm², y₂ = 14 + 186/2 = 107 mm

Centre de gravité

ȳ = (3640·7 + 5208·107)/8848 = 65,86 mm

Réponse

ȳ = 65,86 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 180,4 × 10⁶ mm⁴

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 2420 mm², y = 331 mm

âme: A = 4960 mm², y = 165 mm

semelle inférieure: A = 2900 mm², y = 5 mm

Centre de gravité

ȳ = (2420·331 + 4960·165 + 2900·5)/10280 = 158,9 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 110·22³/12 + 2420·172,1² = 7,174 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·310³/12 + 4960·6,058² = 3,99 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 290·10³/12 + 2900·153,9² = 6,875 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,174 × 10⁷ + 3,99 × 10⁷ + 6,875 × 10⁷

I_x = 1,804 × 10⁸ mm⁴ = 180,4 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 180,4 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −21,87 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = 10 − 50·0,766 − (−10)·0,6428 = −21,87 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 41,87 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 20 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −21,87 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 210,9 MPa

Contraintes à la surface

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·30³) = 377,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = 188,6 MPa

R = √(188,6² + 94,31²) = 210,9 MPa

Réponse

τ_max = 210,9 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 11,88 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 5000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 5000·3000³/(3·7,2 × 10¹²) = 6,25 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 5,625 mm

Les additionner

δ = 6,25 + 5,625 = 11,88 mm

Réponse

δ = 11,88 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_mid = 30,54 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche à mi-portée

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 20000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·1,61 × 10¹²) = 30,54 mm

Réponse

δ_mid = 30,54 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 78,96 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·1000 = 1000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1000² = 78957 N = 78,96 kN

Réponse

P_cr = 78,96 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 44,76 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/20 = 210

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Réponse

σ_cr = 44,76 MPa

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