Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en laiton sous l’effort axial.

P = 30 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 35 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 100 kW à 1500 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 60 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

45 kN @ 2 m55 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 55 kN à 1 mw = 8 kN/m de 0 à 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 100 mm × 200 mm a un trou circulaire de diamètre 60 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 130 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmcentre du trou: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 50 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 50 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 110 MPa, σᵧ = 80 MPa et τₓᵧ = −60 MPa, avec σ_z = 0. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale absolue τ_abs en ce point (en considérant tous les plans dans l’espace).

σ_x = 110 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 10 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens horaire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 26 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,4775 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95,49/100000 = 0,0009549 = 954,9 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,0009549·500 mm = 0,4775 mm

Réponse

δ = 0,4775 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 111,4 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 111,4 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 111,4 MPa

Réponse

σ_max = 111,4 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 1,126 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(80000·79522) = 0,01965 rad

φ = 0,01965·180/π = 1,126°

Réponse

φ = 1,126°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 37,81 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm

Réponse

d = 37,81 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 2 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 75,83 kN, R₂ = 24,17 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 75,83, M_C = 96,67 kN·m, M_D = 72,5, M_E = 48,33, M_F = 24,17, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 96,67 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 25,75 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 8·4·2

R_B = 119/4 = 29,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 29,75 = 57,25 kN

Couper en x = 3 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 57,25·3 − 55·(3 − 1) − 8·3·1,5 = 25,75 kN·m

Réponse

M_x = 25,75 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (20000·100 − 2827·130)/(20000 − 2827) = 95,06 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

100·200³/12 + 20000·4,939² = 67,15 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·60⁴/64 + 2827·34,94² = 4,088 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 295,8 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

âme: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·267,5 + 2080·130)/5680 = 217,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 240·15³/12 + 3600·(267,5 − 217,1)² = 9,195 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·260³/12 + 2080·(130 − 217,1)² = 2,751 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,195 × 10⁶ + 2,751 × 10⁷ = 3,671 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 217,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·217,1/3,671 × 10⁷ = 295,8 MPa

Réponse

σ_bas = 295,8 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_abs = 78,42 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Dans l’espace, la contrainte de cisaillement maximale absolue vaut (σ_max − σ_min)/2 sur les trois contraintes principales ; en contraintes planes, la troisième est nulle.

Contraintes principales dans le plan

C = 95 MPa, R = √(15² + (−60)²) = 61,85 MPa

σ₁ = 156,8 MPa, σ₂ = 33,15 MPa, σ_z = 0

Le plus grand des trois cercles

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(123,7, 156,8, 33,15)/2 = 78,42 MPa

Réponse

τ_abs = 78,42 MPa

Ici, c’est le cercle hors plan qui est déterminant : le maximum absolu est supérieur au maximum dans le plan R.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 32,62 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −15·−0,6428 + 30·0,766 = 32,62 MPa

Réponse

τ_θ = 32,62 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 16,95 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 16,95 mm

Réponse

δ_max = 16,95 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 3,108 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 26000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·2000³/(48·2,4 × 10¹²) = 1,806 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,302 mm

Les additionner

δ_max = 1,806 + 1,302 = 3,108 mm

Réponse

δ_max = 3,108 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 3,598 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2500 = 5000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/5000² = 3598 N = 3,598 kN

Réponse

P_cr = 3,598 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 4,318 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7,5 = 400

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Réponse

σ_cr = 4,318 MPa

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