Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une charge triphasée équilibrée absorbe un courant de ligne de 100 A sur un réseau de tension composée 480 V. Le facteur de puissance vaut 0,82 (inductif). Trouvez la puissance active totale P absorbée par la charge, en kW.
Une charge triphasée équilibrée absorbe 300 kW avec un facteur de puissance de 0,7 (inductif) sur un réseau de 690 V (tension composée), 60 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,95 (inductif). La puissance active reste la même. Les condensateurs sont couplés en triangle (Δ). Trouvez la capacité Cph de chaque condensateur, en µF.
Un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 4:1 a son enroulement primaire sous 920 V. Une résistance de 8 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire. Trouvez le courant primaire I1.
Un transformateur monophasé de 150 kVA a des pertes fer de 900 W. À charge nominale et avec un facteur de puissance de 0,85 (inductif), son rendement est de 96 %. Trouvez les pertes cuivre à pleine charge Pcu,fl en watts.
Un moteur monophasé absorbe 31 kW avec un facteur de puissance de 0,7 inductif sous 230 V. Trouvez le courant de ligne I.
Une source de 24 V (efficace), 1000 Hz a une impédance interne Zs = 5 + j40 Ω. L’impédance de charge ZL peut être choisie librement. Trouvez la puissance active maximale Pmax qui peut être fournie à la charge.
Un circuit RLC série est alimenté sous 120 V (efficaces), 200 Hz. Trouvez le courant efficace I.
Un circuit RLC série est alimenté par une source de 1 V (efficace) dont la fréquence est réglée sur la fréquence de résonance du circuit. Trouvez la tension efficace VL aux bornes de la bobine.
Un moteur à courant continu avec k = 0,5 N·m/A et Ra = 1,5 Ω est branché sur 120 V. Trouvez son couple de blocage Tstall, le couple à vitesse nulle.
Un hacheur alimente un moteur (k = 0,3 V·s/rad, Ra = 1 Ω) depuis un bus continu de 110 V. La tension d’induit moyenne est D·110 V. Trouvez le rapport cyclique D qui fait tourner le moteur à 500 rpm avec une charge de 1,2 N·m.
Réponse: P = 68,17 kW
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Réponse: Cph = 385,3 µF
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Dans une batterie en triangle, chaque condensateur est branché entre deux phases.
Réponse: I1 = 7,188 A
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Un transformateur parfait n’a pas de pertes : V₁·I₁ = V₂·I₂.
Vérification : la charge vue du primaire vaut a²·RL = 128 Ω, et 920/128 donne le même courant.
Réponse: Pcu,fl = 4413 W
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.
Réponse: I = 192,5 A
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Seule la partie active de la puissance fournit un travail, donc divisez par le facteur de puissance.
Réponse: Pmax = 28,8 W
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
La réactance de la charge compense celle de la source, et la résistance de la charge est égale à celle de la source.
Réponse: I = 0,9383 A
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.
Réponse: VL = 6,03 V
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
À la résonance, les réactances s’annulent, donc l’impédance se réduit à R.
Cela fait Q = 6,03 fois la tension d’alimentation.
Réponse: Tstall = 40 N·m
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
Réponse: D = 17,92 %
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
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