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1Formules et méthodes
Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel
Norme
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vecteur unitaire
û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produit scalaire
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b
a·b/|b|
Travail
W = F·d
Produit vectoriel
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aires
parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O
MO = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède
V = |a·(b × c)|
Méthode
Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Cadres et machines
Équilibre de chaque élément
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces
force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation
égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation
F = √(Fx² + Fy²)
Levier, pince, levier coudé
Fin·a = Fout·b
Genouillère
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Méthode
Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Centre de gravité et moment quadratique
Centre de gravité
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectangle
I = bh³/12
Théorème de Huygens
I = Ic + A·d²
Section composée
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercices
1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielMoyen
Trouvez le produit scalaire a·b de a = (5, −1, −4) et b = (−4, −2, −5).
a = (5, −1, −4)b = (−4, −2, −5)
a·b =
2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielDifficile
Trouvez le volume V du parallélépipède dont les arêtes issues d’un sommet sont a = (4, −1, 0), b = (5, −2, −5) et c = (1, 5, 5).
a = (4, −1, 0)b = (5, −2, −5)c = (1, 5, 5)
V =
3.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Elle porte une charge ponctuelle P à 1 m de A et un couple trigonométrique M à 3 m de A. Trouvez la réaction verticale RB, en comptant positif vers le haut.
L = 10 mP = 80 kN à 1 mM = 10 kN·m (trigonométrique) à 3 m
RB = kN
4.Réactions d’appui des poutresDifficile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.
L = 5 mP = 55 kN à 2,5 mw = 12 kN/m de 0 à 5 m
RB = kN
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
B: 40 kN ↓F: 15 kN ↓G: 30 kN ↓
1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre BG
13barre DG
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
Une poutre horizontale AB est articulée à un mur en A et soutenue par la contrefiche CD, articulée au mur en C, 1 m sous A. Une charge de 5 kN est suspendue en B. Négligez les poids. Trouvez l’intensité de la force d’articulation A sur la poutre en A.
P = 5 kNAD = 0,8 mAB = 2,5 mAC = 1 m
A = kN
8.Cadres et machinesDifficile
La poutre AB de la console murale représentée est articulée en A et soutenue par la contrefiche CD (C est 0,75 m sous A). La poutre porte une charge uniformément répartie de 4 kN/m sur toute sa longueur et une charge ponctuelle de 3 kN à son extrémité libre B. Trouvez la force FCD dans la contrefiche.
w = 4 kN/mP = 3 kNAD = 0,8 mAB = 2 mAC = 0,75 m
FCD = kN
9.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 3,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 8 mw = 10 kN/m de 0 à 8 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
10.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 5,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 6 mP = 40 kN à 1 mw = 10 kN/m de 0 à 6 mx = 5,5 m
Mx = kN·m
11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
Une section en I symétrique a des semelles de 160 mm de large et 12 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 420 mm et une âme de 6 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique Ix par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.
B = 160 mmH = 420 mmtf = 12 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 50 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σhaut au bord supérieur.
1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel
Réponse: a·b = 2
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Multiplier les composantes correspondantes et additionner
Positif : l’angle entre les vecteurs est inférieur à 90°.
2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel
Réponse: V = 90
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Produit vectoriel b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−2)·5 − (−5)·5 = 15
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−5)·1 − 5·5 = −30
(b × c)z = bxcy − bycx = 5·5 − (−2)·1 = 27
Produit scalaire avec a
a·(b × c) = 4·15 + (−1)·(−30) + 0·27 = 90
V = |90| = 90
Réponse
V = 90
3.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 7 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Moments par rapport à A
Sens trigonométrique positif.
ΣMA = 0: RB·10 − 80·1 + 10 = 0
RB = 70/10 = 7 kN
Équilibre vertical
RA = 80 − 7 = 73 kN
Réponse
RB = 7 kN
Une réaction négative est dirigée vers le bas.
4.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 57,5 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·2,5 + 12·5·2,5
RB = 287,5/5 = 57,5 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 57,5 = 57,5 kN
Réponse
RB = 57,5 kN
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre CG
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud C
BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud C
BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.
Force dans la contrefiche
FCD = 5·2,5/(0,7809·0,8) = 20,01 kN
Composantes en A
Ax = FCD·cos α = 12,5 kN (vers le mur)
Ay = 5 − FCD·sin α = −10,62 kN
Norme
A = √(12,5² + −10,62²) = 16,41 kN
Réponse
A = 16,41 kN
Un Ay négatif signifie que le mur tire la poutre vers le bas en A.
8.Cadres et machines
Réponse: FCD = 25,59 kN
Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.
Résultante de la charge répartie
w·L = 4·2 = 8 kN à 1 m
Moments autour de A pour la poutre
FCD·0,6839·0,8 = 8·1 + 3·2 = 14 kN·m
FCD = 25,59 kN
Réponse
FCD = 25,59 kN
9.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 78,75 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, appliquée en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
Couper en x = 3,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 40·3,5 − 10·3,5·1,75 = 78,75 kN·m
Réponse
Mx = 78,75 kN·m
10.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 17,08 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·1 + 10·6·3
RB = 220/6 = 36,67 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 36,67 = 63,33 kN
Couper en x = 5,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = Ic + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.
Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux
Les deux évidements ensemble font (B − tw) de large et hw = H − 2tf de haut, et sont rapportés à l’axe x.
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Découper en deux rectangles
Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.
semelle: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm