Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 31, 19, 12, 58, 50, 42.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 88.

μ = 100σ = 15x = 88

z =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = 0,5X + 20. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,25Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Quelle proportion se situe entre 240 et 252,5 g ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 252,5

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 70 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 65 pointsσ = 10 points70%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 30 téléphones, moyenne 73 h, écart-type connu 9 h. Modèle 2 : 60 téléphones, moyenne 76 h, écart-type connu 11 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 73 hσ₁ = 9 hn₂ = 60x̄₂ = 76 hσ₂ = 11 h99%

borne supérieure = h

8.Intervalles de confianceDifficile

Une étude pilote suggère qu’environ 0,2 des produits sont défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,025 ?

p ≈ 0,2E = 0,02599%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

8 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut −12,2 et l’écart-type des différences 11,9. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μ_d = 0.

n = 8d̄ = −12,2s_d = 11,9

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 47,9. L'écart-type de la population est 8. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

x̄ = 47,9σ = 8n = 3690%

U =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 6

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (2,5, 20). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 20)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 17,91

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 212/6 = 35,33

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−4,333)² + (−16,33)² + (−23,33)² + 22,67² + 14,67² + 6,667² = 1603

Écart-type

s = √(1603/5) = 17,91

Réponse

s = 17,91

2.Statistique descriptive

Réponse: z = −0,8

Centrer-réduire

z = (88 − 100)/15 = −0,8

Réponse

z = −0,8

3.Probabilités

Réponse: Var(X) = 0,7

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Variance

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Réponse

Var(X) = 0,7

4.Probabilités

Réponse: σ_Y = 1,166

Dispersion de X

μ = 2,4, Var(X) = 5,44, σ_X = 2,332

Changement linéaire

σ_Y = |0,5|·2,332 = 1,166

Réponse

σ_Y = 1,166

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 0,5·2,4 + 20 = 21,2.

5.Loi normale

Réponse: P = 0,6687

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(0,5) − Φ(−2) = 0,6915 − 0,02275 = 0,6687

Réponse

P = 0,6687

6.Loi normale

Réponse: x = 70,2 points

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,7

z d’après la table

z ≈ 0,52

Retour aux unités d’origine

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 points

Réponse

x = 70,2 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 2,595 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimation ponctuelle

x̄₁ − x̄₂ = 73 − 76 = −3

Erreur type

SE = √(9²/30 + 11²/60) = 2,172

Marge d'erreur

E = 2,576·2,172 = 5,595

Intervalle

−3 ± 5,595 → [−8,595, 2,595]

Réponse

borne supérieure = 2,595 h

L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 1699

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Résoudre pour n

n = 2,576²·0,2·0,8/0,025² = 1699

Arrondir vers le haut

n = 1699

Réponse

n = 1699

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −2,9

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erreur type de la différence moyenne

SE = 11,9/√8 = 4,207

Statistique de test

t = −12,2/4,207 = −2,9

Réponse

t = −2,9

Avec df = 7, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,365 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 50,09

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Marge d'erreur

E = 1,645·8/√36 = 2,193

Borne de l'intervalle

U = 47,9 + 2,193 = 50,09

Réponse

U = 50,09

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9903

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 120/6 = 20

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 472

Coefficient de corrélation

r = 180/√(70·472) = 0,9903

Réponse

r = 0,9903

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −1,9

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Droite de régression

b = −30/10 = −3

a = 20,4 − (−3)·3 = 29,4

ŷ = 29,4 − 3·x

Valeur prédite

ŷ = 29,4 + (−3)·2,5 = 21,9

Résidu

e = 20 − 21,9 = −1,9

Réponse

e = −1,9

Le point se trouve en dessous de la droite.

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