Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 23, 40, 28, 20, 49.

n = 5

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 188 ?

μ = 170σ = 12x = 188

P =

3.ProbabilitésMoyen

On lance un dé équilibré 2 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?

n = 2

P =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 9 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,25, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 9p = 0,25

P =

5.Loi normaleMoyen

X est normale de moyenne 60 s et d’écart-type 5 s ; Y est indépendante et normale de moyenne 45 s et d’écart-type 4 s. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 101,8 s. Arrondissez z à deux décimales.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 101,8 s

P =

6.Loi normaleDifficile

On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 97,5 % des valeurs (le 97,5e centile).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 50 téléphones, moyenne 109 h, écart-type connu 4 h. Modèle 2 : 100 téléphones, moyenne 118,5 h, écart-type connu 12 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 109 hσ₁ = 4 hn₂ = 100x̄₂ = 118,5 hσ₂ = 12 h95%

borne supérieure = h

8.Intervalles de confianceDifficile

Les diamètres de 20 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 4,7 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 19, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 8,907 et 2,5 % au-dessus de 32,852.

n = 20s = 4,7 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 498,6 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,6s = 8n = 64

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 45,3. L'écart-type de la population est 20. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

x̄ = 45,3σ = 20n = 3695%

U =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 5Σx = 30Σy = 55Σx² = 220Σy² = 729Σxy = 400

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (22,5, 105). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 6(22,5, 105)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 12,19

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 160/5 = 32

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−9)² + 8² + (−4)² + (−12)² + 17² = 594

Écart-type

s = √(594/4) = 12,19

Réponse

s = 12,19

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,06681

Centrer-réduire

z = 1,5

Table de la loi normale

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Réponse

P = 0,06681

3.Probabilités

Réponse: P = 0,3056

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complémentaire

P(aucun six) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Réponse

P = 0,3056

4.Probabilités

Réponse: P = 0,3003

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

Les additionner

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

Réponse

P = 0,3003

5.Loi normale

Réponse: P = 0,6915

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi de la somme

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Centrer-réduire

z = (101,8 − 105)/6,403 = −0,5

Queue supérieure

P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915

Réponse

P = 0,6915

6.Loi normale

Réponse: x = 129,4 points

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

z du centile

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Retour à x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 points

Réponse

x = 129,4 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = −6,9 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimation ponctuelle

x̄₁ − x̄₂ = 109 − 118,5 = −9,5

Erreur type

SE = √(4²/50 + 12²/100) = 1,327

Marge d'erreur

E = 1,96·1,327 = 2,6

Intervalle

−9,5 ± 2,6 → [−12,1, −6,9]

Réponse

borne supérieure = −6,9 h

L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.

8.Intervalles de confiance

Réponse: σ = 3,574 µm

Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.

Somme des carrés

(n − 1)s² = 19·4,7² = 419,7

Bornes pour σ²

419,7/32,852 = 12,78

419,7/8,907 = 47,12

Borne pour σ

σ = √12,78 = 3,574 µm

Réponse

σ = 3,574 µm

Intervalle à 95 % pour σ : [3,574, 6,865] µm.

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −1,4

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Statistique de test

t = (498,6 − 500)/1 = −1,4

Réponse

t = −1,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 51,83

Marge d'erreur

E = 1,96·20/√36 = 6,533

Borne de l'intervalle

U = 45,3 + 6,533 = 51,83

Réponse

U = 51,83

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9939

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 400 − 30·55/5 = 70

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 729 − 55²/5 = 124

Coefficient de corrélation

r = 70/√(40·124) = 0,9939

Réponse

r = 0,9939

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = 5

Moyennes

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 600/6 = 100

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 735

Droite de régression

b = 735/157,5 = 4,667

a = 100 − 4,667·22,5 = −5

ŷ = −5 + 4,667·x

Valeur prédite

ŷ = −5 + 4,667·22,5 = 100

Résidu

e = 105 − 100 = 5

Réponse

e = 5

Le point se trouve au-dessus de la droite.

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