Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 42, 45, 39, 34, 24, 48.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 164 ?

μ = 170σ = 12x = 164

P =

3.ProbabilitésMoyen

On lance un dé équilibré 2 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?

n = 2

P =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 11 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,25, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 4 bonnes réponses ?

n = 11p = 0,25k = 4

P =

5.Loi normaleMoyen

X est normale de moyenne 120 mm et d’écart-type 0,3 mm ; Y est indépendante et normale de moyenne 80 mm et d’écart-type 0,4 mm. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 199,8 mm. Arrondissez z à deux décimales.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

6.Loi normaleDifficile

On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 25 % des valeurs (le 25e centile).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 30 éléments a une moyenne de 42,5 et un écart-type s = 13,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

n = 30x̄ = 42,5s = 13,590%t(29) = 1,699

E =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 5. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?

σ = 5E = 0,590%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 501,8 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,8s = 15n = 36

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 500,4. L'écart-type de la population est 15. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

x̄ = 500,4σ = 15n = 4999%

U =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 5

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (4,5, 44). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 44)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 8,664

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 232/6 = 38,67

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 3,333² + 6,333² + 0,3333² + (−4,667)² + (−14,67)² + 9,333² = 375,3

Écart-type

s = √(375,3/5) = 8,664

Réponse

s = 8,664

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,3085

Centrer-réduire

z = −0,5

Table de la loi normale

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Réponse

P = 0,3085

3.Probabilités

Réponse: P = 0,3056

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complémentaire

P(aucun six) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Réponse

P = 0,3056

4.Probabilités

Réponse: P = 0,1721

Formule binomiale

P(X = 4) = 330·0,25⁴·0,75⁷ = 330·0,003906·0,1335 = 0,1721

Réponse

P = 0,1721

5.Loi normale

Réponse: P = 0,6554

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi de la somme

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Centrer-réduire

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

Queue supérieure

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

Réponse

P = 0,6554

6.Loi normale

Réponse: x = 473 h

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

z du centile

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Retour à x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Réponse

x = 473,02 h

7.Intervalles de confiance

Réponse: E = 4,188

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Marge d'erreur

E = 1,699·13,5/√30 = 4,188

Réponse

E = 4,188

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 271

Résoudre pour n

n = (1,645·5/0,5)² = 270,6

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 271

Réponse

n = 271

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 0,72

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Statistique de test

t = (501,8 − 500)/2,5 = 0,72

Réponse

t = 0,72

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 505,9

Marge d'erreur

E = 2,576·15/√49 = 5,52

Borne de l'intervalle

U = 500,4 + 5,52 = 505,9

Réponse

U = 505,9

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9813

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 106/5 = 21,2

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 342,8

Coefficient de détermination

r² = 116²/(40·342,8) = 0,9813

Réponse

r² = 0,9813

Environ 98,13 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −2,6

Moyennes

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 245/5 = 49

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

Droite de régression

b = 48/10 = 4,8

a = 49 − 4,8·5 = 25

ŷ = 25 + 4,8·x

Valeur prédite

ŷ = 25 + 4,8·4,5 = 46,6

Résidu

e = 44 − 46,6 = −2,6

Réponse

e = −2,6

Le point se trouve en dessous de la droite.

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