Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 55, 38, 26, 10, 48, 13.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 162 ?

μ = 170σ = 8x = 162

P =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 9 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 9p = 0,2

P =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,9846. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,9846

z =

6.Loi normaleDifficile

Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 30 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 100 pointsσ = 15 points30%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 50 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 1,1. Quelle est la marge d’erreur E₂ si la même étude utilise 450 observations à la place ?

99%n₁ = 50E₁ = 1,1n₂ = 450

E₂ =

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 10 parcelles, rendement moyen 15,5 kg, écart-type 1,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 7 parcelles, moyenne 14 kg, écart-type 7 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 15,5s₁ = 1,5n₂ = 7x̄₂ = 14s₂ = 795%t(15) = 2,131

borne supérieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 17 étudiants, note moyenne 81,5, écart-type 2. Groupe 2 : 5 étudiants, note moyenne 87,8, écart-type 12. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).

n₁ = 17x̄₁ = 81,5s₁ = 2n₂ = 5x̄₂ = 87,8s₂ = 12

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un test z unilatéral de H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ > 100 est réalisé au seuil α = 0,05 avec un échantillon de 64 ; l’écart-type est connu et vaut 16. En réalité, la moyenne vaut 104,2. Trouvez la probabilité d’une erreur de deuxième espèce β en pourcentage.

μ₀ = 100μ = 104,2σ = 16n = 64α = 0,05

β = %

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 5Σx = 30Σy = 353Σx² = 220Σy² = 26179Σxy = 2340

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (24,5, 127). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 6(24,5, 127)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 18,45

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 190/6 = 31,67

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 23,33² + 6,333² + (−5,667)² + (−21,67)² + 16,33² + (−18,67)² = 1701

Écart-type

s = √(1701/5) = 18,45

Réponse

s = 18,45

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,8413

Centrer-réduire

z = −1

Table de la loi normale

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Réponse

P = 0,8413

3.Probabilités

Réponse: σ = 0,8047

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Variance

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Réponse

σ = 0,8047

4.Probabilités

Réponse: P = 0,4362

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,8⁹ = 0,1342

P(X = 1) = 9·0,2·0,8⁸ = 0,302

Les additionner

P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362

Réponse

P = 0,4362

5.Loi normale

Réponse: z = −2,16

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = 1 − 0,9846 = 0,0154

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,0154 dans la table et lisez z.

z = −2,16

Réponse

z = −2,16

6.Loi normale

Réponse: x = 107,8 points

Aire à gauche

Φ(z) = 0,7

z d’après la table

z ≈ 0,52

Retour aux unités d’origine

x = 100 + 0,52·15 = 107,8 points

Réponse

x = 107,8 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: E₂ = 0,3667

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapport des marges

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(50/450) = 0,3333

Nouvelle marge

E₂ = 1,1·0,3333 = 0,3667

Réponse

E₂ = 0,3667

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 6,307 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Écart-type commun

s_p² = (9·1,5² + 6·7²)/15 = 20,95

s_p = 4,577

Marge d'erreur

E = 2,131·4,577·√(1/10 + 1/7) = 4,807

Intervalle

1,5 ± 4,807 → [−3,307, 6,307]

Réponse

borne supérieure = 6,307 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −2,189

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variance commune

s_p² = (16·2² + 4·12²)/20 = 32

s_p = 5,657

Erreur type

SE = 5,657·√(1/17 + 1/5) = 2,878

Statistique de test

t = (81,5 − 87,8)/2,878 = −2,189

Réponse

t = −2,189

Avec df = 20, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,086 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: β = 32,46 %

Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Moyenne d’échantillon critique

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 100 + 1,645·2 = 103,3

z avec la vraie moyenne

z = (103,3 − 104,2)/2 = −0,455

Erreur de deuxième espèce

puissance = P(Z > −0,455) = 67,54%

β = 100% − 67,54% = 32,46%

Réponse

β = 32,46%

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,99

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 2340 − 30·353/5 = 222

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 26179 − 353²/5 = 1257

Coefficient de corrélation

r = 222/√(40·1257) = 0,99

Réponse

r = 0,99

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −2,986

Moyennes

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 681/6 = 113,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 865,5

Droite de régression

b = 865,5/157,5 = 5,495

a = 113,5 − 5,495·21,5 = −4,648

ŷ = −4,648 + 5,495·x

Valeur prédite

ŷ = −4,648 + 5,495·24,5 = 130

Résidu

e = 127 − 130 = −2,986

Réponse

e = −2,986

Le point se trouve en dessous de la droite.

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