Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 31, 41, 44, 32, 13, 18.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 50,4 ?

μ = 60σ = 12x = 50,4

P =

3.ProbabilitésMoyen

De combien de façons N peut-on choisir un comité de 3 personnes parmi un groupe de 6 ? L'ordre ne compte pas.

n = 6k = 3

N =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 5 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 4 bonnes réponses ?

n = 5p = 0,4k = 4

P =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,9181. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,9181

z =

6.Loi normaleDifficile

Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 30 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 65 pointsσ = 10 points30%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 34 et un écart-type s = 14,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

n = 9x̄ = 34s = 14,595%t(8) = 2,306

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 12 parcelles, rendement moyen 59 kg, écart-type 6,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 9 parcelles, moyenne 65 kg, écart-type 4 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 59s₁ = 6,5n₂ = 9x̄₂ = 65s₂ = 499%t(19) = 2,861

borne inférieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 100 étudiants a une note moyenne de 96,7 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 96,7s = 15n = 100

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 25 mesures a une moyenne de 99,4. L'écart-type de la population est 4. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

x̄ = 99,4σ = 4n = 2590%

L =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 6

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (3,5, 10). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 10)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 12,29

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 179/6 = 29,83

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 1,167² + 11,17² + 14,17² + 2,167² + (−16,83)² + (−11,83)² = 754,8

Écart-type

s = √(754,8/5) = 12,29

Réponse

s = 12,29

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,2119

Centrer-réduire

z = −0,8

Table de la loi normale

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Réponse

P = 0,2119

3.Probabilités

Réponse: N = 20

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaisons

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Réponse

N = 20

4.Probabilités

Réponse: P = 0,0768

Formule binomiale

P(X = 4) = 5·0,4⁴·0,6¹ = 5·0,0256·0,6 = 0,0768

Réponse

P = 0,0768

5.Loi normale

Réponse: z = 1,74

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = (1 + 0,9181)/2 = 0,9591

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,9591 dans la table et lisez z.

z = 1,74

Réponse

z = 1,74

6.Loi normale

Réponse: x = 70,2 points

Aire à gauche

Φ(z) = 0,7

z d’après la table

z ≈ 0,52

Retour aux unités d’origine

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 points

Réponse

x = 70,2 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 45,15

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Marge d'erreur

E = 2,306·14,5/√9 = 11,15

Intervalle

34 ± 11,15 → [22,85, 45,15]

Réponse

borne supérieure = 45,15

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = −13,05 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Écart-type commun

s_p² = (11·6,5² + 8·4²)/19 = 31,2

s_p = 5,585

Marge d'erreur

E = 2,861·5,585·√(1/12 + 1/9) = 7,047

Intervalle

−6 ± 7,047 → [−13,05, 1,047]

Réponse

borne inférieure = −13,05 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −2,2

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Statistique de test

t = (96,7 − 100)/1,5 = −2,2

Réponse

t = −2,2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: L = 98,08

Marge d'erreur

E = 1,645·4/√25 = 1,316

Borne de l'intervalle

L = 99,4 − 1,316 = 98,08

Réponse

L = 98,08

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = −0,9753

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 129/6 = 21,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 71,5

Coefficient de corrélation

r = −34,5/√(17,5·71,5) = −0,9753

Réponse

r = −0,9753

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −4,55

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 81/5 = 16,2

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

Droite de régression

b = −33/10 = −3,3

a = 16,2 − (−3,3)·3 = 26,1

ŷ = 26,1 − 3,3·x

Valeur prédite

ŷ = 26,1 + (−3,3)·3,5 = 14,55

Résidu

e = 10 − 14,55 = −4,55

Réponse

e = −4,55

Le point se trouve en dessous de la droite.

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