Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 49, 14, 52, 25, 10, 40.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 155 ?

μ = 170σ = 15x = 155

P =

3.ProbabilitésMoyen

De combien de façons N peut-on choisir un comité de 5 personnes parmi un groupe de 7 ? L'ordre ne compte pas.

n = 7k = 5

N =

4.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = 3X + 10. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35Y = 3X + 10

σ_Y =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Quelle proportion se situe entre 248,75 et 259,25 g ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,75x₂ = 259,25

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart type 5 g. Faites glisser le seuil pour que les 40 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.Intervalles de confianceMoyen

On mesure la tension artérielle de 20 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 7,4 et un écart-type de 0,9. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour la différence moyenne.

n = 20d̄ = 7,4s_d = 0,990%t(19) = 1,729

E = mmHg

8.Intervalles de confianceDifficile

Une étude pilote suggère qu’environ 0,6 des produits sont défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,02 ?

p ≈ 0,6E = 0,0295%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 79 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79s = 10n = 36

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1,5 ? L'écart-type est 10. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 10E = 1,599%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 6Σx = 153Σy = 628Σx² = 4059Σy² = 68782Σxy = 16692

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 61 ?

n = 6ŷ = 61

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 17,94

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 190/6 = 31,67

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 17,33² + (−17,67)² + 20,33² + (−6,667)² + (−21,67)² + 8,333² = 1609

Écart-type

s = √(1609/5) = 17,94

Réponse

s = 17,94

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,8413

Centrer-réduire

z = −1

Table de la loi normale

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Réponse

P = 0,8413

3.Probabilités

Réponse: N = 21

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaisons

C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21

Réponse

N = 21

4.Probabilités

Réponse: σ_Y = 37,35

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Dispersion de X

μ = 25, Var(X) = 155, σ_X = 12,45

Changement linéaire

σ_Y = |3|·12,45 = 37,35

Réponse

σ_Y = 37,35

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 3·25 + 10 = 85.

5.Loi normale

Réponse: P = 0,5665

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25

z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(1,85) − Φ(−0,25) = 0,9678 − 0,4013 = 0,5665

Réponse

P = 0,5665

6.Loi normale

Réponse: x = 248,8 g

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,4

z d’après la table

z ≈ −0,25

Retour aux unités d’origine

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Réponse

x = 248,8 g

7.Intervalles de confiance

Réponse: E = 0,348 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valeur critique

df = 19, t = 1,729

Marge d'erreur

E = 1,729·0,9/√20 = 0,348

Réponse

E = 0,348 mmHg

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 2305

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Résoudre pour n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,02² = 2305

Arrondir vers le haut

n = 2305

Réponse

n = 2305

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,4

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Statistique de test

t = (79 − 75)/1,667 = 2,4

Réponse

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 295

Résoudre pour n

n = (2,576·10/1,5)² = 294,9

Arrondir vers le haut

n = 295

Réponse

n = 295

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,978

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 16692 − 153·628/6 = 678

S_xx = 4059 − 153²/6 = 157,5

S_yy = 68782 − 628²/6 = 3051

Coefficient de corrélation

r = 678/√(157,5·3051) = 0,978

Réponse

r = 0,978

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 4,512

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 332/6 = 55,33

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

Droite de régression

b = 98/17,5 = 5,6

a = 55,33 − 5,6·3,5 = 35,73

ŷ = 35,73 + 5,6·x

Résoudre pour x

x = (61 − 35,73)/5,6 = 4,512

Réponse

x = 4,512

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