Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Quelle proportion se situe entre 57,5 et 85 points ? Donnez P sous forme décimale.
On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 75 % des valeurs (le 75e centile).
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 100 téléphones, moyenne 114,5 h, écart-type connu 9 h. Modèle 2 : 50 téléphones, moyenne 105,5 h, écart-type connu 19 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
On ne sait rien à l’avance sur la proportion de produits défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,05 ?
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 80 pièces a une longueur moyenne de 81 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 13 mm. Ligne 2 : un échantillon de 40 pièces a une moyenne de 76 mm, écart-type connu 16 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
Dans un essai, 80 patients sur 200 sous traitement A guérissent, et 58 sur 120 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 9.
Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Calculez la statistique du khi-deux χ² du test d’indépendance entre la variable en ligne et la variable en colonne. N’utilisez pas de correction de continuité.
Le tableau indique les effectifs observés. Testez au seuil α = 0,05 si les deux variables sont indépendantes (sans correction de continuité). Calculez la statistique de test χ², puis comparez-la à la valeur critique de la table.
Réponse: P = 0,7506
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Réponse: x = 110,1 points
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Réponse: borne supérieure = 16,3 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
Réponse: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Réponse: z = 1,714
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
Réponse: z = −1,457
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
Réponse: r² = 0,9227
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Environ 92,27 % de la variation de y est expliquée par la droite.
Réponse: ŷ = 78,36
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Réponse: χ² = 22,51
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
df = 2. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 5,991 ; H₀ (indépendance) est donc rejetée.
Réponse: χ² = 13,33
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
χ² est supérieur à la valeur critique, donc H₀ est rejetée : les variables semblent liées.
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