Ondes et optique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Ressorts et pendules

Masse sur un ressort: T = 2π·√(m/k)
Pendule: T = 2π·√(L/g)
Pulsation: ω = √(k/m) = 2π/T
Vitesse et accélération maximales: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Énergie: E = ½·k·A²

Ondes, son et optique

Vitesse de l’onde: v = fλ, T = 1/f
Corde: v = √(T/μ), μ = m/L
Niveau sonore: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Source ponctuelle: I = P/(4πr²)
Ondes stationnaires: corde ou tuyau ouvert f_n = n·v/(2L) ; tuyau fermé f_n = n·v/(4L), n impair
Effet Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Indice de réfraction: n = c/v, λ = λ₀/n
Loi de Snell-Descartes: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Angle critique: sin θ_c = n₂/n₁
Fibre optique: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lentilles et miroirs: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doubles fentes: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Réseau: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fente simple: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Méthode

Identifiez le type de problème : vitesse d’une onde, niveau sonore, onde stationnaire, Doppler, réfraction, lentille ou miroir, ou interférences.
Écrivez d’abord la relation : v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Convertissez les unités : nm, mm et cm en m, et vérifiez si les angles sont mesurés par rapport à la normale.
Vérifiez les signes et la vraisemblance : une image virtuelle a dᵢ < 0, une source qui s’approche paraît plus aiguë, un tuyau fermé n’a que des harmoniques impairs.

2Exercices

1.Ressorts et pendulesMoyen

Un astronaute sur une autre planète constate qu’un pendule simple de 0,6 m de long a une période de 2,53 s pour de petites oscillations. Trouvez l’accélération de la pesanteur g sur cette planète.

L = 0,6 mT = 2,53 s

g = m/s²

2.Ressorts et pendulesDifficile

Une masse de 0,2 kg fixée à un ressort de raideur k = 500 N/m est écartée de 2 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez son accélération maximale a_max.

m = 0,2 kgk = 500 N/mA = 2 cm

a_max = m/s²

3.Ondes, son et optiqueMoyen

Un objet de 1 cm de haut se trouve à 60 cm devant une lentille mince convergente de distance focale 20 cm. Trouvez la hauteur de l’image h_i (négative pour une image renversée).

h_o = 1 cmd_o = 60 cmf = 20 cm

h_i = cm

4.Ondes, son et optiqueDifficile

Un réseau de 800 traits par millimètre montre le maximum d’ordre 2 d’une raie spectrale à 70,5° de la direction de transmission directe. Trouvez la longueur d’onde λ de la raie.

N = 800 mm⁻¹θ₂ = 70,5°m = 2

λ = nm

3Solutions

1.Ressorts et pendules

Réponse: g = 3,701 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Isoler g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,6/2,53² = 3,701 m/s²

Réponse

g = 3,701 m/s²

2.Ressorts et pendules

Réponse: a_max = 50 m/s²

Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².

Pulsation

ω = √(500/0,2) = 50 rad/s

Accélération maximale

a_max = A·ω² = 0,02·50² = 50 m/s²

Réponse

a_max = 50 m/s²

3.Ondes, son et optique

Réponse: h_i = −0,5 cm

Optique géométrique : à une interface, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (loi de Snell-Descartes), avec les angles mesurés par rapport à la normale et n = c/v. En entrant dans un milieu plus lent, le rayon se rapproche de la normale. Depuis un milieu plus dense (n₁ > n₂), au-delà de l’angle critique θ_c = arcsin(n₂/n₁), toute la lumière est réfléchie : réflexion totale interne. Les lentilles minces et les miroirs sphériques obéissent à 1/f = 1/d_o + 1/d_i avec le grandissement m = −d_i/d_o. Convention de signes : f > 0 pour une lentille convergente et un miroir concave (f = R/2), f < 0 pour une lentille divergente et un miroir convexe ; d_i > 0 pour une image réelle, d_i < 0 pour une image virtuelle, et m < 0 pour une image renversée.

Équation de la lentille mince

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/60

d_i = 30 cm

Grandissement et hauteur

m = −30/60 = −0,5

h_i = −0,5·1 = −0,5 cm

Réponse

h_i = −0,5 cm

4.Ondes, son et optique

Réponse: λ = 589,2 nm

Interférences et diffraction : la lumière de deux fentes distantes de d atteint un point de l’écran avec une différence de marche d·sin θ. Des franges brillantes apparaissent là où d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Pour un écran à une distance L ≫ d, la m-ième frange brillante est en y = mλL/d et l’interfrange est Δy = λL/d. Un réseau de N traits par millimètre a d = 1/N et des maxima fins pour d·sin θ = mλ ; comme sin θ ≤ 1, l’ordre le plus élevé est le plus grand entier m ≤ d/λ. Une fente simple de largeur a a des franges sombres pour a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Longueur d’onde

λ = d·sin θ/m = 1,25 × 10⁻⁶·sin 70,5°/2 = 589,2 nm

Réponse

λ = 589,2 nm

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