Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−1021−32234h[n]n−10−311234

Les suites x[n] = {2, −3, 2} et h[n] = {−3, 1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, −3, 2}, n = 0…2h[n] = {−3, 1}, n = 0…1
ymax =
2.Facile
x[n]n−101234415−36h[n]n−101233−34−15

La suite x[n] est non nulle pour n = 3…5 et h[n] pour n = 2…4, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 3…5h[n]: n = 2…4
nfirst =
3.Moyen
x(t)t110h(t)t21

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 1 s est convoluée avec l’impulsion h(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 10, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 1, 0 ≤ t < 2 s
Ay =
4.Moyen
x(t)t11h(t)t32

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse impulsionnelle h(t) = 2 pour 0 ≤ t < 3 s (nulle ailleurs). Trouvez la sortie y(3) à t = 3 s.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 2, 0 ≤ t < 3 st = 3 s
y(3) =
5.Difficile
u[n]2+y[n]0,8·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,8·y[n − 1] + 2·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[4].

y[n] = 0,8y[n − 1] + 2x[n]x[n] = u[n]
y[4] =
6.Difficile
10cos(20t)h(t) = 10e−20t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 10·cos(20t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 10·e−20tu(t). Trouvez l’amplitude Ym de la sortie en régime permanent.

h(t) = 10e−20tu(t)x(t) = 10cos(20t)
Ym =

Corrigé

  1. 1. ymax = 11
  2. 2. nfirst = 5
  3. 3. Ay = 20
  4. 4. y(3) = 2
  5. 5. y[4] = 6,723
  6. 6. Ym = 3,536

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