Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−10−2142234h[n]n−10311234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−2, 4, 2} et h[n] = {3, 1}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−2, 4, 2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−3−2−3−11041h[n]n−101−3213

La suite x[n] est non nulle pour n = -2…0 et h[n] pour n = 1…2, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = -2…0h[n]: n = 1…2
nfirst =
3.Moyen
x(t)t41h(t)t11

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 4 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 1 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 1 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 1, 0 ≤ t < 4 sh(0) = 1, h(1) = 0
Ay =
4.Moyen
x(t)t12h(t)t24

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 1 s et t = 2 s, et h(t) qu’entre t = 2 s et t = 4 s. Trouvez l’instant tstart où y(t) = x(t) ∗ h(t) commence.

x: 1 … 2 sh: 2 … 4 s
tstart = s
5.Difficile
u[n]2+y[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 2·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[3].

y[n] = 0,9y[n − 1] + 2x[n]x[n] = u[n]
y[3] =
6.Difficile
x(t)t (ms)0,4243

Un train d’impulsions a pour hauteur 3, pour largeur d’impulsion 0,4 ms et pour période 2 ms. Trouvez sa composante continue (valeur moyenne) c0.

A = 3τ = 0,4 msT = 2 ms
c0 =

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = 16
  2. 2. nfirst = −1
  3. 3. Ay = 2
  4. 4. tstart = 3 s
  5. 5. y[3] = 6,878
  6. 6. c0 = 0,6

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