Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−103122−234h[n]n−101132−234

On effectue la convolution des suites x[n] = {3, 2, −2} et h[n] = {1, 3, −2}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {3, 2, −2}, n = 0…2h[n] = {1, 3, −2}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−103112−13−14h[n]n−10−11−22−134

Les suites x[n] = {3, 1, −1, −1} et h[n] = {−1, −2, −1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {3, 1, −1, −1}, n = 0…3h[n] = {−1, −2, −1}, n = 0…2
ymax =
3.Moyen
x(t)t24h(t)t01

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = 2 s et t = 4 s, et h(t) qu’entre t = 0 s et t = 1 s. Trouvez l’instant tend où y(t) = x(t) ∗ h(t) se termine.

x: 2 … 4 sh: 0 … 1 s
tend = s
4.Moyen
x(t)t24h(t)t1

L’impulsion x(t) = 4 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−5tu(t). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 4, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−5tu(t)t = 2,5 s
y(2.5) =
5.Difficile
5cos(1,5t)h(t) = 2e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(1,5t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 2·e−2tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 2e−2tu(t)x(t) = 5cos(1,5t)
φ = °
6.Difficile
x(t)t (ms)0,5125−5

Un signal carré commute entre +5 et −5 avec la période T = 1 ms (une demi-période à chaque niveau). Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 1000 Hz.

±5T = 1 msf = 1000 Hz
c1 =

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = 6
  2. 2. ymax = 3
  3. 3. tend = 5 s
  4. 4. y(2.5) = 0,06567
  5. 5. φ = −36,87 °
  6. 6. c1 = 6,366

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